Ing. Químico

Elementos móviles

En este trabajo se propone una nueva técnica para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales que componen modelos de sistemas con parámetros distribuidos.

El sistema a simular es el mostrado en la Figura 1. Se trata de un intercambiador de calor de doble tubo donde se calienta agua fría –en el tubo interno– utilizando agua caliente –en contra corriente por el tuboexterno–.


Figura 1: Intercambiador de calor de doble tubos en contracorriente.

El modelo dinámico da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, donde las variables independientes son el tiempo y la coordenada espacial z. La coordenada radial no se considera porque se supone que es un flujo pistón. Se supone también que ambas áreas transversales –la interna y la externa– soniguales. Con esas consideraciones, el modelo correspondiente es:



donde  es la densidad del fluido, Cp es la capacidad calorífica del fluido, T es la temperatura del fluido en el tubo interno, Ts es la temperatura del fluido en el tubo externo, U es el coeficiente global de transferencia de energía, d es el diámetro del tubo interno, v es la velocidad del fluido en el tubo interno, vs es lavelocidad del fluido en el tubo externo (se la toma como positiva), t es el tiempo y z es la coordenada longitudinal.

Diferencias finitas
La forma tradicional de resolver este sistema de ecuaciones es utilizando el método de diferencias finitas. En ese método, el intercambiador se descompone en varias secciones de longitud z –cilíndricas para el tubo interno, anulares para el tubo externo–. Esassecciones están fijas como lo muestra la Figura 2. A su vez, el tiempo se discretiza utilizando un intervalo t.

Figura 2: Elementos diferenciales considerados para el método de diferencias finitas.

Como resultado de ambas discretizaciones (la espacial y la temporal), el sistema original de ecuaciones diferenciales parciales se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas. Dichosistema está compuesto por las siguientes ecuaciones:



donde, para mayor exactitud, la temperatura en la frontera de dos elementos se toma como igual al promedio de las temperaturas de ambos elementos.

La resolución del sistema algebraico así obtenido requiere que se especifiquen los perfiles iniciales en el interior de ambos tubos; en otras palabras, la simulación se inicia suponiendo queambos tubos están llenos. Si bien puede relajarse la condición planteada, ello requiere de una programación adicional que no es contemplada por el método original.

La Tabla 1 presenta los valores adoptados para los parámetros del modelo. La Figura 3 presenta la evolución del perfil de temperatura en el tubo interno, mientras que la Figura 4 muestra la evolución del perfil de temperatura en eltubo externo. En ambas figuras se muestra la evolución para un minuto, tomando muestras cada 10 s. Como puede apreciarse en dichas figuras, el estado inicial que se asumió es ambos tubos llenos y a temperatura constantes, siendo la temperatura en el tubo interno 25 °, y en el externo 60 °C. La Figura 5 presenta en forma conjunta la evolución de los perfiles en ambos tubos. El perfil que se logra alos 100 s es el correspondiente al estado estacionario que finalmente alcanza el equipo. La diferencia de temperatura entre ambas corrientes en ese estado varía punto a punto, estando los valores en el intervalo [6.34 °C, 6.72 °C]. Resolviendo el modelo estacionario, se obtiene que la diferencia de temperatura en ese estado es constante en cada punto, y es igual a 6.6 °C. El valor de t adoptadoestá cerca del valor crítico, un valor mayor inestabiliza el sistema, y no puede obtenerse una solución.

Tabla 1: Parámetros del modelo para el intercambiador agua-agua.
d = 0.03 m, diámetro del tubo interno.
L = 40 m, longitud de los tubos.
U = 1700 W/(m2 °C)
Cp = 4.187103 J/(kg °C)
 = 1000 kg/m3
v = 0.5 m/s
vs = 0.5 m/s
z = 0.4 m
t = 0.04 s


Figura 3: Evolución del perfil de...