Ing redes y telecomunicacion

MUESTREO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO
Las señales en tiempo discreto son sucesiones de números reales x[k]; la sucesión toma valores en función de un índice entero k, que indica el tiempo discreto adimensional. Normalmente se usará tiempo positivo (0 ≤k < ∞), aunque ocasionalmente se discutirá el efecto de condiciones iniciales (k < 0).

Una señal en tiempo discreto puedeprovenir de una señal en tiempo continuo x(t), muestreada a intervalos regulares: periodo de muestreo Ts

x[k] = x(kTs)

frecuencia de muestreo

s
f  1
Ts

pulsación de muestreo  s

 2 .
Ts

Las señales en tiempo discreto también pueden ser generadas por un algoritmo programado en un ordenador, como se verá más adelante.

Ejemplo 1.1 Muestreo de exponencial yde senoidal

Señal exponencial. La señal x[k] se expresa como función de k y como sucesión de números (se dan valores redondeados):
x[k] = 0,9k = { 1,00 0,900 0,810 0,729 0,656 0,590 ...} Puede provenir de una señal en tiempo continuo:

x(t )  e  at

x[k ]  x(kTs )  e

aTs k

  k

  e

aTs

La Figura 1.1 ilustra el proceso. Obsérvese que los valores en tiempo discreto sonlos mismos para distintas exponenciales en tiempo continuo, si el periodo de muestreo guarda la misma relación con la constante de tiempo:

aTs

 Ts / 

  ln( )

EXPONENCIAL

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SENOSOIDAL

1

0.5

0

-0.5

-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15
k

Figura 1.1 Exponencial y senoidal en tiempo discreto

Señal senoidal. La señal x[k] se expresa como función de k y como sucesión de números (se dan valores redondeados):

x[k] = cos(k) = { 1,00 0,951 0,809 0,588 0,309 0,00 -0,309 ...} Puede provenir de una señal en tiempo continuo:
x(t) = cos( bt) x[k] = x(kTs) = cos(k)  = bTs = 

Suponiendo: f = 50 Hz, Ts = 1ms:b = 100 rad/s fs = 1 kHz s = 2 krad/s  =  rad = 18º


 es la pulsación en tiempo discreto; es el ángulo “eléctrico” de una muestra. Nótese que es adimensional, como el tiempo discreto k.

La Figura 1.1 ilustra el proceso. Obsérvese que los valores en tiempo discreto son los mismos para distintas senoidales en tiempo continuo, si el periodo de muestreo guarda la mismarelación con el periodo de la senoidal.

Ts / T   / 2

Teorema fundamental del muestreo. Aliasing

Recibe el nombre de aliasing un fenómeno inherente al proceso de muestreo: las frecuencias superiores a la mitad de la de muestreo (f >fs/2) son confundidas sistemáticamente con otras frecuencias más bajas. La frecuencia fs/2 suele ser denominada frecuencia de Nyquist.

Específicamente,las únicas frecuencias bien muestreadas son 0  f < fs/2. Si f>fs/2, después de muestrear se ve una frecuencia aparente (alias) fa , dentro del margen 0  fa  fs/2. La Figura 1.2 ayuda a visualizar las relaciones: considérese que las frecuencias describen una circunferencia, con ángulos proporcionales; una vuelta corresponde a fs. Las frecuencias bien muestreadas están en lasemicircunferencia superior; más allá de ½ vuelta la frecuencia se “refleja” con respecto al eje horizontal; más allá de 1 vuelta se repite la circunferencia.

El teorema fundamental del muestreo (Shannon) establece que una señal en tiempo continuo que no contenga frecuencias superiores a fs/2 (técnicamente: cuya transformada de Fourier sea nula para f>fs/2) puede ser muestreada y recuperadaexactamente (mediante un filtro ideal de Shannon). A la inversa, la señal en tiempo continuo no puede ser recuperada si contiene frecuencias superiores a la frecuencia de Nyquist.


Ejemplo 1 presenta 4 casos de aliasing, variando la frecuencia de una señal senoidal para la misma frecuencia de muestreo:

 Para una señal de frecuencia 0,5fs se obtiene la misma frecuencia, pero con...