Ing. Sistemas

C.E.A. San Francisco

LÍÍMIITES DE FUNCIIONES (resumen) L M TES DE FUNC ONES (resumen)
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Límite
x→k

lim f ( x ) se lee: límite de la función f(x) cuando x tiende a k

Idea intuitiva del significado
Cuando x→ +∞

Representación gráfica

x → +∞

lim f ( x ) = l

Al aumentar x, los valores de f(x) se van acercando al valor l. (el límite de f(x) es finito)Ejemplo con l = - 1

Ejemplo con l = 0

x → +∞

lim f ( x ) = +∞

Al aumentar x, los valores de f(x) crecen cada vez más.

x → +∞

lim f ( x ) = −∞

Al aumentar x, los valores de f(x) son cada vez “más negativos”. Cuando x→ - ∞

x → −∞

lim f ( x ) = +∞

Al tomar x valores negativos pero cada vez más grandes en valor absoluto, los valores de f(x) crecen cada vez más. Al tomar xvalores negativos pero cada vez más grandes en valor absoluto, los valores de f(x) son cada vez “más negativos”. Al tomar x valores negativos pero cada vez más grandes en valor absoluto, los valores de f(x) se van acercando al valor l. (el límite de f(x) es finito) Cuando x→ a Por la derecha de a: x→ a+ lim+ f ( x ) = +∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero
x →a

x → −∞

lim f ( x ) = −∞Ejemplo con l = 0

Ejemplo con l = 1

x → −∞

lim f ( x ) = l

En este ejemplo: Cuando x→ 0+, f(x)→ -∞ – Cuando x→ 0 , f(x)→ +∞ Cuando x→ 2+, f(x)→ +∞ – Cuando x→ 2 , f(x)→ -∞

mayores que “a”, la función va hacia +∞
lim f ( x ) = ∞
x →a

lim+ f ( x ) = −∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero

x →a

Estudiamos los LÍMITES LATERALES

mayores que “a”, la función va hacia -∞Por la izquierda de a: x→ a– lim− f ( x ) = +∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero
x →a

menores que “a”, la función va hacia +∞
x →a −

lim f ( x ) = −∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero

menores que “a”, la función va hacia -∞
Ejemplo con a = 3 y l =
x →a

5 3

lim f ( x ) = l

Al ir tomando x valores cercanos a “a”, los valores correspondientes de f(x) se van acercandoal valor l. (el límite de f(x) es finito)

Límites de funciones - pág. 1

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Ejemplo 1.: a)
x 2 + 4 x − 45 x →5 2x − 10 lim

Veamos hacia dónde se acerca la función f ( x ) = valores cercanos a 5: x f(x) 4,99 6,995 4,999 6,9995
f ( 4,99) =

x 2 + 4 x − 45 , cuando x tiende a 5, creando una tabla de 2x − 10

4,9999 6,99995

5,0001 7,00005

5,000001 7,00000055,00000001 6,99999991

4,99 2 + 4 ⋅ 4,99 − 45 = 6,995 2 ⋅ 4,99 − 10

Se puede observar que los valores de la función se acercan a 7, por tanto, lim f ( x ) = 7
x →5

b)

Elabora una tabla como en el ejemplo anterior para comprobar el límite siguiente: x 2 + 6 x − 27 lim =6 x →3 2x − 6

OBSERVACIÓN: Una función f(x) tiene límite en un punto “a” si y sólo si existen los límites lateralesy coinciden; siendo dicho valor el límite de la función. Si alguno de los límites laterales no existe o no coinciden, entonces la función no tiene límite en ese punto “a”. Ejemplo 2.: a)
x2 + 1 x2 + 1 lim− = +∞ = −∞ x →2 x − 2 x →2 x − 2 La función no tiene límite cuando x tiende a 2 lim+

x ≤ −2 ⎧3 ⎪ b) f ( x ) = ⎨− x + 1 − 2 < x ≤ 3 ⎪2 x>3 ⎩

f(x) = 3
4 3 2

f(x) = 2

Aunque puedededucirse observando su gráfica, veamos qué ocurre en los puntos de cambio de expresión de esta función definida a trozos: Cuando x → -2
x → −2 +

1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7

f(x) = – x + 1

lim f ( x ) = lim + ( − x + 1) = 3⎫ ⎪ x → −2 ⇒ lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = 3 ⇒ lim f ( x ) = 3 lim − f ( x ) = lim − 3 = 3 ⎬ x → −2 x → −2 x → −2 ⎪ x → −2 x → −2 ⎭

Cuando x → 3
⎫⎪ ⇒ Los límites laterales no coinciden ⇒ ∃ lim f ( x ) / lim− f ( x ) = lim− ( − x + 1) = −2⎬ x→3 ⎪ x →3 x →3 ⎭
x →3 + x →3

lim f ( x ) = lim+ 2 = 2

Límites de funciones - pág. 2

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PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS: Las propiedades que aparecen a continuación vienen expresadas para x tendiendo a infinito pero son válidas para x tendiendo a un valor...