Ing Sistemas

Regula falsa modificada.
El punto escogido con el algoritmo de la regula falsi, es el punto de corte de la secante a la curva f(x) por los puntos (a , f(a)) y (b , f(b)) con el eje de abscisas. Si como en la figura de nuestro ejemplo la función f(x) es cóncava y creciente, esa intersección está siempre por encima del gráfico de f (x) y el nuevo punto siempre estará a la izquierda de la raíz.Si f(x) fuera convexa y creciente se daría el caso contrario y el nuevo punto estaría siempre a la derecha de la raíz.
Para acelerar la convergencia de la regula falsi, se reemplazan las secantes por rectas de menor pendiente hasta que el nuevo punto se sitúa en el lado opuesto de la raíz. Unimos pues la recta del extremo no fijo, con el del fijo e imagen la mitad.
Interpretación gráfica.Método del punto fijo

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Descripción del Método
El método de iteración depunto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación en la forma .
Llamemos a la raíz de . Supongamos que existe y es conocida la función tal que:
del dominio.
Entonces:

Tenemos, pues, a como punto fijo de.

Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de , que es mejorada por iteración hasta alcanzar laconvergencia. Para que converja, la derivada debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.
Algoritmo para iteración de punto fijo
1. Se ubica la ráiz de analizando lagráfica.
2. Se obtiene un despeje de la función.
3. Obtenemos de su derivada .
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en , es decir haciendo iteración de las operaciones.
Ejemplo 1
Sea una función, encuentre la raíz.
Ubicamos la ráiz analizando la gráfica.

Obtenemos :

Después obtenemos laderivada de la función:

Entonces resolvemos las desigualdades:

La solución es:

La solución es:

O visto de otra manera, vemos que en la grafica de la derivada existen valores entre -1 y 1:

Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración de las operaciones:

En la tabla se puede ver el valor que en este caso se uso de R, la iteración consiste enusar ese valor en para obtener los siguientes valores haciendo la misma operación usando el valor anterior.
Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en .

I) resolver numéricamente las ecuaciones utilizando el método y las condiciones indicadas
a) 2x-e-x=0 , Bisección, intervalo [0; 1.6]

Comprobando si hay solución en [0; 1.6]
F0= -e-0=-1F1.6=3.2-e-1.6=2.998103482
F (0).F (1.6) <0 existe solución en [0;1.6]
*Primera iteración:
Hallando r:
r=0+1.62=0.8
Reemplazando:
F(0.8)=1.150671036

f(a) | f(r) | f(b) |
- | + | + |


*Segunda iteración:
Hallando r:
r=0+0.82=0.4
Reemplazando:F(0.4)=0.1296799554

f(a) | f(r) | f(b) |
- | + | + |


Hallamos el error
∈=0.8-0.40.4×100=100%
*Tercera iteración:
Hallando r:
r=0+0.42=0.2
Reemplazando:
F(0.2)=-0.4187307531...