Ing

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
LABORATORIO DE INGENIERÍA DE CONTROL

PRACTICA N˚ 6
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
OBJETIVO
Hacer uso de los comandos de matlab y simulink para analizar un sistema de control de segundo orden.

INTRODUCCION
Las características de respuesta transitoria tales como tiempo de subida,tiempo pico, máximo
sobreimpulso, tiempo de asentamiento y error en estado estacionario se pueden determinar a partir de la
respuesta a un cambio en su entrada.
Considere el sistema de segundo orden de la figura

G ( s) =

kωn2
C ( s)
= 2
R ( s ) s + 2ζω n s + ωn2

donde k es la ganancia del sistema, ωn es la frecuencia natural no amortiguada y ζ es la relación de
amortiguamiento.
Las raíces deldenominador, polos de G (s ) , están dados por

s1, 2 = −ζω n ± ωn ζ 2 − 1
Puede observarse que la naturaleza de las raíces depende del valor de ζ , es decir
ƒ

Si ζ > 1 , se dice que el sistema es sobreamortiguado y las raíces son reales y diferentes y
están dadas por

s1, 2 = −ζω n ± ωn ζ 2 − 1
ƒ

Si ζ = 1 , se dice que el sistema es críticamente amortiguado y las raíces son reales e iguales
y estándadas por

s1, 2 = −ωn

ƒ

Si 0 < ζ < 1 , se dice que el sistema es subamortiguado y las raíces son complejas conjugadas,
y están dadas por

s1, 2 = −ζω n ± jωn 1 − ζ 2 = −σ ± jωd
donde σ = ζω n es el factor de atenuación y ω d = ωn 1 − ζ 2 es la frecuencia natural amortiguada
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M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

•

Si ζ > 0 ,se dice que el sistema es sin amortiguamiento y las raíces son imaginarias y están
dadas por

s1, 2 = ± jω n

La respuesta en el tiempo para una entrada escalón unitario R( s ) = 1 s sería

C ( s) =

kωn2
1
2
2
s + 2ζω n s + ωn s

Tomando la transformada inversa de Laplace para cada caso, quedaría:
ƒ

C (t ) = 1 +

Caso sobreamortiguado:

⎛ e−s 1 t e−s 2 t
⎜
−
⎜
s2
2 ζ 2 − 1 ⎝ s1

ωn

⎞
⎟
⎟
⎠

s1= ζω n + ω n ζ 2 − 1 y s2 = ζω n − ω n ζ 2 − 1

donde
ƒ

Caso críticamente amortiguado:

C (t ) = 1 − e −ωn t (1 + ωnt )

ƒ

Caso subamortiguado:

⎡
⎤
ζω
C (t ) = 1 − e −ζ ωn t ⎢Cos (ωd t ) + n Sen(ωd t )⎥
ωd
⎣
⎦

ƒ

Caso sin amortiguamiento:

C (t ) = 1 − Cosωn t

La respuesta de los sistemas de segundo orden a una entrada escalón unitario se muestra en la siguiente
figura

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Especificaciones de Respuesta Transitoria
Las especificaciones de respuesta transitoria se definen para sistemas de segundo orden
subamortiguados para una entrada escalón y son:

π −β
ωd
π
tp =
ωd
tr =

Tiempo de elevación o crecimiento, t r :
Tiempo pico, t p :

%M p =

c (t p ) − c (∞ )

Máximo sobrepasoporcentual, % M p :

c (∞)

% M p = 100 e
t s = 4τ =

Tiempo de asentamiento, t s :

*100

⎛ −π ζ
⎜
⎜
1−ζ 2
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

4

ζω n

ωd = ωn 1 − ζ 2
ζ = cos β

Ejemplo
Obtenga la respuesta en el tiempo a una entrada escalón unitario con el comando step para el sistema
que se muestra. Grafique para un tiempo de 0 a 1.8.
g=

48
s + 7 s + 60
2

El procedimiento en el matlab sería

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Las raíces de la ecuación característica del sistema
de control son complejas conjugadas.
Por lo que la respuesta del sistema es
subamortiguada. El sistema se le denomina
subamortiguado.

Para obtener las características de la respuesta en
el tiempo del sistema de control, se presiona el
botón derecho del mouse sobrela grafica,
escogemos Characteristics, luego escogemos Peak
Response, Settling Time o Steady State.
Con Peak Response obtenemos el máximo sobre
impulso y el tiempo pico, con Settling Time
obtenemos el tiempo de asentamiento, con Steady
State obtenemos el valor de la magnitud en el cual
se estabiliza.
Con el máximo sobre impulso de la gráfica
obtenemos el máximo sobre impulso porcentual
c (t p )...