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5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UNPUNTO. CURVAS ORTOGONALES.
La
pendiente
de la
recta normal
a una curva en un punto es la
opuesta de la inversade la pendiente de la recta tangente
, por ser rectas perpendiculares entre sí.La
pendiente
de la
recta normal
es la
opuesta de la inversa de la derivada
de lafunción en dicho punto.
Ecuación de larecta normal
La
recta normal
a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a))y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).EjemplosCalcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = /8.

 
 Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x
2
+ x + 1 paralela ala bisectriz delprimer cuadrante.Sea el punto de tangencia (a, b)m = 1f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0Punto de tangencia:(0, 1)Recta tangente:y 1 = x
y
= x +1
 Recta normal:m= 1P(0, 1)y 1 = x
y
= íx + 1
 

 
5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DELVALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.
T
EOREMA DE ROLLE
El
teorema de Rolle
dice que:Si
f 
es una función
continua
en [a, b] y
derivableen (a, b), tal que
f(a) = f(b)
,hay algún punto
c
 
(a, b)
en el que
f'(c) = 0
.La
interpretación gráfica del teorema de Rolle
nos dice que hay un punto enel que la tangente es paralela al eje de abscisas.
 Ejemplos
1.
¿
Es aplicable el
teorema de Rolle
a la función f(x) = |x 1| en el intervalo[0, 2]?La función es continua en [0, 2]. No es aplicable el
teorema de Rolle
porquela solución no es derivable en el punto x = 1.
2.
Estudiar si la función f(x) = x x
3
satisface las condiciones del
teorema deRolle
en los intervalos [1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores dec.f(x) es una función continua en los intervalos [1, 0] y [0, 1] y derivable enlos intervalos abiertos (1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.Además se cumple que:f(1) = f(0) =f(1) = 0Por tanto es aplicable el
teorema de Rolle
.

 
 
3
.
¿
Satisface la función f(x) = 1 x las condiciones del
teorema de Rolle
en elintervalo [1, 1]?La función es continua en el intervalo [1, 1] y derivable en (1, 1) por ser una función polinómica. No cumple
teorema de Rolle
porque f(1)  f(1).
4.
Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x
2
+ 4x
3
= 0 tiene una únicasolución.Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.Si la función tuviera dos races distintas x
1
y x
2
, siendo x
1
< x
2
, tendramosque:f(x
1
) = f(x
2
) = 0Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el
teorema del Rolle
, que dira que existe un c (x
1
, x
2
) tal que f'(c) = 0.f' (x) = 2 + 6x + 12x
2
f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x
2
).Perof' (x)  0, no admite soluciones reales porque el
discrimnante
esnegativo: = 9 24 < 0.Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción conel
teorema de Rolle
, por lo que la hipótesis de que existen dos races es falsa.
5.
¿
Cuántas raíces tiene la ecuación x
3
+ 6x
2
+ 15x í 25 = 0?La función f(x) = x
3
+ 6x
2
+ 15x í 25 es continua y derivable en ·
 
Teorema de Bolzano
.f(0) = í25f(2) = 37Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).
T
eorema de Rolle
.f' (x) = 3x
2
+ 12x +15Dado que la derivada no se anula, ya que su
discriminante
es negativo, lafunción es estrictamente creciente y posee una única raíz.
6.
Demostrar que la ecuación 2x
3
í 6x + 1 = 0 una única solución real en elintervalo (0, 1).La...