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e tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares.
Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo
equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (exágono).
Todos los polígonos regulares son inscribibles en una
circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus
vértices) como muestra el hexágono de la figura.Un
polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales
como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia,
O, un vértice común a todos los triángulos.
Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de
lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos
regulares inscritos en una circunferencia; tan solohay que marcar los vértices
correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.4 de 16
El segmento OM que es la altura del triángulo isósceles BCO se denomina apotema.
Es evidente que un polígono regular tiene tantas apotemas como lados.
Construcciones exactas de polígonos regulares
De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadradoson muy fáciles
de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay
muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone
de manifiesto el teorema de Gauss.
Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados
que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en
queObsérvese que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir.
En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el
radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por
tanto, con el compás se obtienen los vértices
inmediatamente como aparece en la figura del margen a
partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este
hexágono se puede construir el triánguloinscrito como se
indica en la misma figura.
El cuadrado también se construye de forma sencilla
considerando dos diámetros perpendiculares. Éstos
determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado
regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32,
64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices
a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales).Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del
hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados.
La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada
caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la
construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado. En
estecaso la longitud del lado es la longitud de la hipotenusa del triángulo NOA de
catetos r y r
2
5 − 1
(no se demuestra) y para dibujar este segmento se procede
como se indica en la figura adjunta: 5 de 16
o Partiendo de la circunferencia de centro O y radio OR, se traza el punto medio de
OR, M. Este punto determina con A, punto de la circunferencia situado en un radio
perpendicular a OR,y con O un triángulo rectángulo en O cuya hipotenusa AM
mide r
2
5
o Como NO = r
2
5 − 1
(pues a NM = AM = r
2
5
se le resta
2
r
) y OA=r, se obtiene
que el lado del pentágono es la hipotenusa de NOA.
o Los vértices B y E se obtienen mediante la intersección de la circunferencia de
partida y la de radio AN centrada en A y los vértices C y D como intersección de lacircunferencia de partida y la de radio AN centrada en B y en E.
Otra construcción se basa en que la proyección del radio OE sobre el diámetro que
pasa por A es r
4
5 − 1
. La figura adjunta se ha construido dibujando el segmento OP
= OM2 = r
4
5 − 1
. 6 de 16
o Para ello en primer lugar se construye OS= 5r como hipotenusa de un triángulo
rectángulo ORS de lados r y 2r. Se toma T tal...