Ingeniaria

N´meros reales u

Potencias y Ra´ ıces

Conceptos y propiedades

En esta secci´n se revisar´ de manera global el tema de potencias con expoo a nentes enteros y racionales, y sus propiedades en relaci´n con las operaciones o de multiplicaci´n, divisi´n y elevar a una nueva potencia. o o

Una expresi´n de la forma am es llamada la potencia m de a, donde a es un o n´mero real llamado base ym es un n´mero racional llamado exponente. u u Potencia para exponente entero Definici´n. Sea a un n´mero real y sea n un n´mero entero. o u u • Para n entero positivo, an est´ definida para todo a ∈ R: a an = a · a · a . . . a (n f actores)

• Para n = 0, a0 est´ definida para todo a = 0: a a0 = 1 • Para n entero negativo, an est´ definida para todo a = 0: a an = Ejemplos • 23 = 2 · 2 · 2 = 8,(3201, 98)0 = 1, 2−3 = 1 23 1 a−n

1

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Nota. Sea a ∈ R, y sea n ∈ Z.   a · a · a . . . a (n veces)  n 1 a =  1  a−n Propiedades. Sean a, b ∈ R y sean m, n ∈ Z. A continuaci´n se presentan las principales o propiedades de potencias, junto a sus restricciones, y un ejemplo de uso de cada regla. Propiedad (1) am · an =am+n Restricci´n(es) o a=0 Ejemplo(s) 23 · 25 = 28 3−3 · 37 = 3−3+7 = 34 215 = 24 11 25 3 = 35−(−2) = 37 −2 3 (23 )4 = 212 (5−3 )2 = 5−3·2 = 5−6 (2 · 4)3 = 23 · 43 = 512 6 7
2

para n > 0 para n = 0, y a = 0 para n < 0 y a = 0

am (2) = am−n n a

a=0

(3) (am )n = am·n

a=0

(4) (a · b)n = an · bn (5) a b
n

a, b = 0 a, b = 0 a=0

an = n b

62 36 = 2= 7 49

(6) a0 = 1 (7) a−n =1 an

30 = 1 3−2 = 1 1 = 32 9
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a=0

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Propiedad (8) Ra´ n-´sima ız e 1 = an −n a

Restricci´n(es) o a=0

Ejemplo(s) 1 = 32 = 9 −2 3

Definici´n. Sea n un entero positivo mayor que 1, y sean a y b n´meros o u reales. a es una ra´ n-´sima de b ız e Ejemplos• Ya que 32 = 9, luego 3 es una ra´ cuadrada de 9. Como (−3)2 = 9, luego ız −3 tambin es una raz cuadrada de 9. • Como (−5)3 = −125, luego −5 es una ra´ c´bica de −125. ız u Ra´ n-´sima principal ız e Definici´n. Sea b un n´mero real y n un n´mero natural. o u u La ra´z n-´sima principal de b (o simplemente, ra´z n-´sima de b), si es ı e ı e que existe, √ el unico n´mero real a del mismo signo que btal que an = b. es ´ u n Se denota b. Observaciones. √ 1. Si n es par, entonces, n b representa un n´mero real, si y s´lo si, b ≥ 0. u o √ Si n es impar, entonces, n b representa un n´mero real, para todo b ∈ R. u √ n Si b es negativo y n es par, entonces b, no representa un n´mero real. u √ 2. Para todo b ∈ R se tiene que: b2 = |b| . √ 3 3 3. Para todo b ∈ R se tiene que: b = b. ⇐⇒ an = bInst. de Matem´tica y F´ a ısica

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Ejemplos. √ • 4 = 2,

(−2)2 = |−2| = 2,

√

−4 no es un n´mero real, u

√ 3

−8 = −2

Relaci´n entre potencias de exponente fraccionario y ra´ o ıces Definici´n. Sean p y q enteros, siendo q > 0. Si b > 0, o bien, b < 0 y q es o impar, se define: bq =Ejemplos • 16 2 =
1 p

√ q

bp

√

16 = 4,

83 =

2

√ 3

82 =

√ 3

64 = 4,

a3 =

4

√ 3

a4

Propiedades de las potencias y ra´ ıces Las propiedades de potencias con exponentes enteros, se cumplen para exponentes racionales, a excepci´n de la propiedad (3). A continuaci´n se presenta o o un conjunto de propiedades de potencias y ra´ ıces, junto a sus restricciones, y unejemplo de uso de cada regla. Los n´meros m y n son n´meros enteros, a y b son n´meros reales. u u u Propiedad (9) an =
1

Restricci´n(es) o a > 0, o a < 0 y n impar a > 0, o a < 0 y n impar

Ejemplos 49 3 =
1

√ n

a

√ 3

49

(10) a− n =

1

1 = √ n a a
1 n

1

35− 5 =

1

1 =√ 5 35 35
1 5

1

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