Ingeniera En Sistema

Colección de Problemas Resueltos.
Volumen I.
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad Mecánica.
Curso 2004-05.

Índice General
I Boletines Resueltos de los Bloques Temáticos Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable.
2
Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices.

3

Boletín 2. El EspacioVectorial Rn . Ortogonalidad y Mínimos Cuadrados

27

Boletín 3. Diagonalización de Matrices

60

Boletín 4. Funciones de una Variable. Diferenciación y Aplicaciones

78

Boletín 5. Integral de Riemann. Aplicaciones

93

II

Exámenes Resueltos de Cursos Anteriores

111

Primer Parcial. Curso 2002-03

112

Segundo Parcial. Curso 2002-03

123

Examen de Junio. Curso 2002-03132

Examen de Septiembre. Curso 2002-03

141

Examen de Diciembre de 2003

151

Primer Parcial. Curso 2003-04

160

Segundo Parcial. Curso 2003-04

170

Examen de Junio. Curso 2003-04

179

Examen de Septiembre. Curso 2003-04

191

1

Parte I

Boletines Resueltos de los Bloques
Temáticos Álgebra Lineal y Cálculo
Diferencial e Integral de Funciones de
unaVariable.

2

Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones
Lineales y Matrices.
1. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss-Jordan y por el método de Gauss.


x1 + x2 + 2x3 = 8

 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
a)
b)


3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
8x1 + x2 + 4x3 = −1


 x − y + 2z − w = −1

−2b + 3c = 1


2x + y − 2z − 2w = −2
c)
d)
3a+ 6b − 3c = −2
 −x + 2y − 4z + w = 1


6a + 6b + 3c = 5

3x − 3w = −3


 4x1 − 8x2 = 12
 2x1 − 3x2 = −2
2x1 + x2 = 1
3x1 − 6x2 = 9
f)
e)


3x1 + 2x2 = 1
−2x1 + 4x2 = −6
½
½
5x1 − 2x2 + 6x3 = 0
x1 − 2x2 + 3x3 = 0
g)
h)
−2x1 + x2 + 3x3 = 1
−2x1 + 4x2 − 6x3 = 1
Solución:

En todos los apartados aplicaremos primeramente el método de Gauss y a continuación elmétodo
de Gauss—Jordan.






1
12
1
1
2
1
1
2
8
8
8
F21 (1)
F2 (−1)
1  −→  0
9  −→  0
(a)  −1 −2 3
−1
5
1 −5
−9 
F31 (−3)
3 −7 4 10
0 −10 −2 −14
0 −10 −2 −14




11
2
11
2
8
8
F32 (10)
F3 (−1/52)
−5
−9  −→  0 1 −5 −9 .
−→  0 1
2
0 0 −52 −104
00
1
Por consiguiente, el sistema inicial es equivalente al sistema triangular superior
 x1 + x2 + 2x3 = 8
x2 − 5x3 = −9

x3 = 2
Así, el sistema dado es compatible determinado (C.D.) y usando
única solución es x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2.
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la
(forma escalonada).





11
2
1104
8
F23 (5)
F12 (−1)
 0 1 −5 −9  −→  0 1 0 1  −→ 
F13 (−2)
2
0012
00
1
3

el método de subida su

última matrizampliada
1
0
0

0
1
0

0
0
1


3
1 .
2

Boletín 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

4


 x1 = 3
Luego, el sistema inicial es equivalente a x2 = 1 y su solución ya está dada.

x3 = 2






222
111
1
1
1
0
0
0
F2 (1/2)
F21 (2)
F2 (1/7)
1  −→  −2 5 2
1  −→  0
1  −→
7
4
(b)  −2 5 2
F31 (−8)
8 1 4 −1
8 1 4 −1
0 −7 −4 −1



1
1
1
11
1
0
0
F23 (7)
0
1 4/7 1/7  −→  0 1 4/7 1/7  .
0
0 −7 −4 −1
00
0
En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado (C.I.), ya que la matriz escalonada
posee dos unos principales y aparece, por tanto, x3 como variable libre. El sistema inicial es
½
x1 + x2 + x3 = 0
equivalente al sistema
y el conjunto de sus soluciones puede escribirse
x2 + 4x3 /7 =1/7

 x1 = −1/7 − 3t/7
x2 = 1/7 − 4t/7
con t ∈ R.
en la forma

x3 = t
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada
(forma escalonada).




1 0 −3/7 −1/7
0
11
1
 0 1 4/7 1/7  F12 (−1)  0 1
1/7  .
−→
4/7
0
0
00
0
00
0
½

x1 − 3x3 /7 = −1/7
y el conjunto de soluciones
x2 + 4x3 /7 = 1/7

 x1 = −1/7 − 3s
x =...