Ingenieria Civil

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA
 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrito en la forma



Es exacta si el campo vectorial asociado



Es conservativo.  
TEOREMA
La solución general de la ecuación diferencial exacta



está dada por , donde es la función potencial del campo vectorial .   
Demostración:
Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial.Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente



Como es la función potencial del campo vectorial , y , de donde



Como se quería.
Ejemplo

La solución general de la ecuación diferencial




es , pues la ecuación diferencial es exacta y como hemos visto es la función potencial del campo vectorial .
 
Ejemplo
Determine una función de modo que la ecuación diferencial(1.1)

Sea exacta.
Para que la ecuación diferencial (1.1) sea exacta debe cumplirse que




Y al integrar respecto a , obtenemos que



Observación: en realidad obtenemos toda una familia de funciones , debido a la constante de integración , como queremos sólo una función podemos tomar .
Ejemplo
Determine el valor o valores de de forma que la ecuación diferencial
(1.2)Para que la ecuación diferencial (1.2) sea exacta debe satisfacer

De donde obtenemos que



REDUCCIÓN DE ORDEN
Al resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, es natural preguntarse si ellas pueden de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan a su vez ser resueltas por alguno de los métodos estudiados hasta el momento. Realmente existen dostipos importantes de ecuaciones de orden superior que pueden resolverse fácilmente de esta manera.

Como hemos visto, una ecuación diferencial de segundo orden puede escribirse en la forma .

Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea:




de la cual se conoce una solución a la que llamaremos y1. De acuerdo con lo visto en la sección anterior, requerimos unasegunda solución y2 de la ecuación diferencial de tal manera que el conjunto constituya un conjunto fundamental de soluciones.

A fin de encontrar esta segunda solución, aplicaremos un método llamado variación de parámetros que se debe a D’Alembert.

La idea fundamental es la siguiente: debido a que la ecuación es lineal, y dado que y1 es solución, entonces ay1 para a constante, también essolución. La pregunta que se formula en este método es, ¿cómo encontrar una función u, de tal manera que también sea solución de la ecuación?

Para el desarrollo de la idea de D’Alembert, requerimos en primer lugar normalizar la ecuación; esto es, necesitamos que el coeficiente de y” sea 1. Para ello, dividimos la ecuación entre a2(X), obteniendo:



Queremos ahora determinar bajo qué condicionespodemos asegurar que es solución. Notemos que, por ser y1 solución de la ED, tenemos:





Si derivamos y2 dos veces, hallamos:


Sustituyendo en y”2 + Py´2+ qy2= 0 obtenemos:






Reagrupamos en términos de u, u´ y u”, resulta:







Si hacemos el cambio de variable w = u”, la Ecuación diferencial se reduce a otra de orden uno, concretamente:





Si escribimos ahorala ecuación en forma diferencial, hallaremos:



Esta última expresión es una Ecuación Diferencial que puede resolverse mediante separación de variables. En efecto, multiplicando
Por 1 , tenemos:
wy1


Integrando, encontramos:



Aplicando propiedades de logaritmos encontramos:



Si ahora aplicamos la función exponencial,


Así




Y debido a que w = u”,se tiene entonces que:

De esta manera, cualquiera de las funciones u ≠ 0 que resulten de esta fórmula será de utilidad para construir una segunda solución y2 = uy1 Como:



Resulta que {y1; y2} es un conjunto fundamental de soluciones. Tomamos el caso más sencillo para la función u, esto es C = 1 y K = 0; u toma la forma:

En resumen, tenemos el siguiente resultado:

Dada la...