Ingenieria civil

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III
Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP

CIRCULO DE MOHR
para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio

Autores:

Ing. Federico Antico Sr. Santiago Pezzotti

Revisado por: Ing. Juan Pablo Durruty

-2008-

ESTRUCTURAS III

Círculo de Mohr

Circulo deMohr: • Breve reseña:
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobreciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones. • Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestrosistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer eldesarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

figura 1 En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente. Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ. Evaluemos elequilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

− σ x .A x − τ θ .A θ .senθ + σ θ .A θ . cos θ = 0
Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:
−σ y .A y + τθ .A θ .cos θ + σ θ .A θ .senθ = 0

(1)

(2)

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Círculo de Mohr

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

− σ x . cos θ − τ θ .senθ + σ θ .cos θ = 0, donde A θ ≠ 0 (1-1) −σ y .senθ + τθ .cos θ + σ θ .senθ = 0, donde A θ ≠ 0 (2-2)

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:
0 = −σ x . cos 2 θ − σ y .sen 2 θ + σ θ (3)

Y considerando las relaciones trigonométricas:
⎪ 2 ⎪ (1 − cos 2θ) ⎪(4) 2 sen θ = ⎬ 2 ⎪ sen 2θ ⎪ senθ. cos θ = ⎪ 2 ⎭ cos 2 θ =

(1 + cos 2θ)⎫

Se llega a:
σθ =

(σx + σ y ) + (σ x − σ y ). cos 2θ (5)
2 2

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

2 Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferenciaen el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica sen 2 θ + cos 2 θ = 1 , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

τθ = −

(σ x − σ y ).sen 2θ (6)

⎡ ( σx + σ y ) ⎤ + τ 2 = ⎡ ( σx − σ y ) ⎤ ⎥ ⎢ σθ − ⎥ ⎢ θ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
2

2

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En estacircunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma ⎛ σx + σy ⎞ ⎜ ⎟ y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

(

)

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τ

Círculo de Mohr

τθ
σx
2θ

σθ
σy
σ...