Ingenieria Civil

2.4   ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PRINCIPALES
Se ha visto que cuando se conoce el tensor de esfuerzos   en un punto, con respecto a los ejes x, y, z,  el mismo tensor con respecto alos ejes x’, y’, z’ esta dado por .Se desea determinar la orientación de los ejes tal, que los esfuerzos en los tres planos perpendiculares a dichos ejes sean normales, es decir, que endichos planos nos existan esfuerzos cortantes.  A estos planos se les denomina planos principales y a los esfuerzos que actúan en ellos, esfuerzos principales. | Si   es un vectorunitario normal a un plano principal y   el esfuerzo normal correspondiente, entoncesde la ecuación [2-4] se tiene que ,entoncesy |
es decir
| [2-24] |
Realizando el producto se tienentres ecuaciones lineales. Para que estas ecuaciones tengan solución se necesita que el determinante de la matriz sea cero. El determinante se puede escribir como |

| [2-25] |donde 
,  ,   . | [2-26] |
 
Nótese que I1 es la suma de los elementos de la diagonal de la matriz de esfuerzos, I2 la suma de los menores principales de la misma matriz, e I3 es eldeterminante de la matriz de esfuerzos.  I1, I2, e I3  son los invariantes del tensor esfuerzo.La solución de la ecuación [2-25], que es la ecuación característica de esfuerzos, da tresvalores de   que corresponden a los esfuerzos principales. | Para determinar las orientaciones de los ejes principales, se reemplaza cada valor de   en la ecuación [2-24,] teniendo encuenta que .En completa analogía con el esfuerzo, es posible definir un sistema de coordenadas a lo largo de las cuales no hay deformación angular. Estos ejes son los ejes principales dela deformación.  La ecuación característica para las deformaciones será entonces |
 
| [2-27] |
donde
 , , | [2-28] |
son los invariantes del tensor de deformaciones.