ingenieria civil

Teorema de Castigliano.
Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.
En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesissobre el Método del Trabajo Mínimo.1er. Teorema:En 1876 presenta su " Método de cálculo de deformaciones " como un primer teorema,que dice:
“La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de ladeformación que produce "
2º Teorema:En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema:
“Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas,ladistribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo ".
La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en laTeoría de Estructuras, pues aunque los fundamentos teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para elcálculo de estructuras hiperestáticas
Consideremos una estructura, que laesquematizamos con una línea cerrada. Es decir, que el área encerrada por la misma se desarrolla una estructura resistente, isostática o hiperestática, o sea que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos).
Consideremos ahora un sistema de cargas actuando sobre la misma, con valores tales que todos los elementos estructurales estén sometidos a esfuer­zos, para los cuales, las tensiones ydeformaciones estén dentro del Pn-1 régimen elástico. Dichas fuerzas las
indicamos con P1 Pj Pn,
sistema que está en equilibrio, es decir que, o bien son sistema de fuerzas externas, o alguna de ellas son fuerzas externas y otras son reacciones de vínculo.
Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Porejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2'.
Cada fuerza realiza un trabajo elástico de valor:
72 . P . 8
Siendo 8 la proyección del despalzamiento A sobre la recta de acción de la fuerza. El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:
Ae = Y" -Pj8.
i=l2
lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema.
Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdría:
Ae + —dPi
1
donde es la variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad.
dpj
Consideramos ahora que primero se aplique dPj y luego el sistema P1 a Pn. El trabajo total, en este caso resulta:
1 dP7 .d8 7 + dP7 .8 7 + Ae
2 j j j j
Donde:
El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su valor final.
El 2° sumando, representa el trabajofísico de dPj debido al desplazamiento que provoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.
El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn.
Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:
dAe 1
Ae + — dP7 = dP7 .d8 7 + dP7.8 7 + Ae
dP - 2 j j j j
Simplificando los valores Ae de las dos ecuaciones y despreciando el primer sumando delsegundo miembro por ser un diferencial de orden superior, se obtiene:
que es la expresión del Teorema de Castigliano
Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como energía interna elástica, podemos escribir:
Ae = Ai
Y por lo tanto:
Ello implica poder enunciar:
"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajointerno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en el régimen elástico."
Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Ae, necesitamos las deformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ai.
Dado que...