Ingenieria Civil

EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS

1. Al llamar a un teléfono celular, éste puede estar: apagado, encendido y ocupado, o encendido y desocupado, con igual probabilidad de ocurrencia cada alternativa. Suponga que usted realiza en un día cualquiera 3 llamados a este teléfono:
a) Obtenga el espacio muestral.
b) Sea X una variable aleatoria que representa el número de veces que usted encuentraencendido y desocupado el teléfono celular en sus 3 llamados. Obtener:
i) la distribución de probabilidades de X.
ii) la función de distribución de X
iii) la función generadora de momentos de X.
c) Graficar las primeras dos funciones anteriores.
d) Calcular e interpretar el valor esperado de X, su varianza y desviación estándar.

2. Sea X una variable aleatoria que representa el númerode llamadas telefónicas que recibe un conmutador en un intervalo de cinco minutos y cuya función de probabilidad está dada por .
a) Determinar las probabilidades de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,y 7.
b) Graficar la función de probabilidad para estos valores de X.
c) Determinar la función de distribución acumulativa para estos valores de X.
d) Graficar la función de distribuciónacumulativa.

3. Considere la siguiente distribución de probabilidades de una v.a. X, discreta:

x
1
2
3
4
5
P(X = x)
¼
⅛
¼
¼
⅛

a) Verifique que p(x) = P(X=x) es una correcta función de probabilidad.
b) Represente gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria.
c) Calcular las siguientes probabilidades utilizando la función dedistribución de
i) P(X = 4)
ii) P(X > 2)
iii) P(2 X < 5)
iv) P(X 4)
v) P(1 < X 4)
vi) P(X < -1)
vii) P(X 0)
viii) P(X 3 / X > 0)
ix) P(X = 0)
P(X > 2 / X 4
)Calcular la función generadora de momentos de X, y de ahí obtener E(X) y V(X).

4. Sea X una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de k para que la función , sea la función de probabilidad de X. Determinar P(1 X3).

5. Sea X, una variable aleatoria con función de distribución definida por:
0 si x < 0
¼ si 0 x < 1
F(x) = ½ si 1 x < 2
¾ si 2 x < 3
1 si x 1
a) Representar gráficamente F(x).
b) Encontrar la función de probabilidades de X.
c) Calcular lassiguientes probabilidades:
i) P( X = 2)
ii) P( X = 1.7)
iii) P(1.2 X 3)
iv) P( X 2.4 / X 3)

6. Sea X una variable aleatoria continua.
a) Determinar el valor de k, de manera tal que la función



sea la función de densidad de probabilidad de X.
b) Determinar la función de distribución acumulativa de X y graficar F(X).
c) Calcular P(X ½) y P(-½ X ½).


7. Sea X una variablealeatoria continua.
a) Determinar el valor de k, de manera tal que la función



sea la función de densidad de probabilidad de X.
b) Graficar f(x).
c) Determinar la función de distribución acumulativa de X y graficar F(X).
d) Calcular P(X ½) y P(-½ X ½).

8. Dada la variable aleatoria X, definida por la función:

p(x) = P(X = x) = k , x = 2, 3, ....., n, kconstante

Determinar la constante k para que p(x) sea una correcta función de probabilidades.

9. Aún estando sometidos a control diario los artículos ofrecidos a la venta en unos grandes almacenes, se estima que la probabilidad de que en un día cualquiera sean vendidos k artículos defectuosos está dada por:

p(x) = , x = 0, 1, 2, 3, .....

Determinar la probabilidad deque en un día cualquiera sean vendidos:
a) dos o más artículos defectuosos.
b) cinco artículos defectuosos.
c) a lo más 4 artículos defectuosos.
d) más de dos artículos defectuosos pero menos de 6.
e) tres o menos artículos defectuosos.

10. Suponga que la demanda diaria de un artículo es una variable aleatoria, D, con función de probabilidad:

P(D = d) = c , d =...