Ingenieria civil

CAPITULO 4 MEDICIÓN DE ANGULOS 4. Medición de ángulos 4.1. Límites del campo topográfico planimétrico 4.2. Medición de ángulos horizontales por medio de distancias horizontales 4.2.1. Por la ley del coseno 4.2.2. Por construcción de triángulo isósceles 4.3. Medición de ángulos con teodolitos 4.3.1. Condiciones de exactitud 4.3.1.1. El eje vertical [VV] debe coincidir con la vertical 4.3.1.2. Eleje horizontal [HH] debe ser perpendicular a [VV] 4.3.1.3. El eje de colimación [CC] debe ser perpendicular a [HH] 4.3.1.4. El eje vertical [VV] debe pasar por el centro del círculo horizontal [O] 4.3.1.5. El eje de colimación [CC] debe cortar a [VV] 4.3.1.6. Intervalos de los círculos graduados con igual amplitud 4.3.1.6.1 Método de repetición 4.3.1.6.2 Método de reiteración 4.3.1.7. El eje decolimación [CC] y el eje del nivel tórico deben ser paralelos 4.4. Sistemas de lectura de círculos graduados 4.4.1. Sistema de Nonio o Vernier 4.4.2. Otros sistemas de lectura Problemas propuestos 4-1 4-2 4-3 4-3 4-4 4-6 4-6 4-6 4-8 4-10 4-11 4-12 4-14 4-15 4-17 4-18 4-20 4-20 4-22 4-23

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Medición de Ángulos

4.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

La topografía puede, en forma muygeneral, ser clasificada en planimétrica y altimétrica. Planimétricamente un punto de la superficie terrestre puede ser ubicado sobre el plano horizontal por medio de sus coordenadas polares al medir el ángulo horizontal y la distancia (figura 1.3). La ubicación altimétrica se determina por medio del ángulo vertical. Durante siglos, el hombre ha ideado diferentes instrumentos para la mediciónsimultánea de ángulos horizontales y verticales, siendo quizás la aparición del “POLIMETRUM”1 (figura 4.1), diseñado por el clérigo Martín Waldseemüler alrededor del año 1.512, el primer prototipo de los teodolitos actuales. También se le atribuye al matemático inglés Leonard Digges la invención en la segunda mitad del siglo XVI del primer instrumento de medida de ángulos predecesor del teodolito. Enel presente capítulo estudiaremos los instrumentos y métodos utilizados en la medición angular.

Figura 4.1. El Polimetrum

1

Bedini Silvio A. (1991). Publicado en la portada de la Revista Profesional Surveyor, Vol. 11, No. 5,. 4-1

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Medición de Ángulos

4.1.

Límites del Campo Topográfico Planimétrico

Los ángulos horizontales pueden ser medidos directamentecon brújula o teodolito, o en forma indirecta por medio de la medición de distancias horizontales. Como los ángulos horizontales se miden sobre el plano horizontal, es necesario determinar hasta que punto la Tierra puede ser considerada como plana, sin que el error que se cometa en la medición del ángulo sea mayor que la precisión del equipo utilizado para la medición del ángulo.

E

L

E EL

L

L

H

R

L

R

R

L

a. Triángulo esférico

a. Triángulo plano
Figura 4.2. El triángulo esférico

En un triángulo esférico (figura 4.2.a) se cumple
αE + βE + γE = 180° + EE

(4.1)

en donde el exceso esférico EE viene dado por
EE" = 206.265" A E R2

(4.2)

siendo: AE = área del triángulo esférico R = radio de la esfera terrestre = 6.367 km Un triánguloplano equivalente al triángulo esférico, con un área AP, se puede obtener corrigiendo los ángulos del triángulo esférico con un valor igual a
C EE " = − EE" 3

(4.3)

sustituyendo (4.2) en (4.3)

4-2

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Medición de Ángulos

C EE " =

206.265" A p 3R 2

(4.4)

en donde Ap = área del triángulo plano equivalente Considerando la figura 4.2.b
Ap = L2 tan 60° 4(4.5) (4.6)

y sustituyendo (4.5) en (4.4) tenemos:
C EE "− 206.265" xL2 tan 60° 12 R 2

Resolviendo la (4.6) para distintos valores de L tenemos Tabla 4.1 Valores de CEE”
L (km) CEE” 25 0,46 30 0,66 35 0,90 40 1,18

Considerando que los ángulos horizontales pueden ser medidos con equipos con apreciaciones de 1”, y recordando el límite del campo topográfico para la medición de distancias...