Ingenieria De Ciencias Y Sistemas Usac

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CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 1.1 INTRODUCCIÓN Sin duda, la parte más apasionante de la matemática, la constituye el cálculo, podemos mencionar sin lugar a equivocarnos que es la parte que más aplicaciones tiene en la vida real, en el desarrollo de toda profesión técnica, en el diario vivir de una persona y en todos los campos de trabajo. Por ello, constituye un verdadero privilegioingresar al estudio de esta parte maravillosa de la ciencia. 1.2 CONJUNTOS DE NÚMEROS El conjunto de los números enteros está constituido por los números enteros positivos, negativos y el cero {....-2, -1, 0 1, 2 .... }, el conjunto de los naturales, lo forman los enteros positivos {1, 2, 3, .....}, los racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros { 2/3, -1/5,4/97, etc.}, y los irracionales lo constituyen los que no pueden ser expresados de la última forma { 2 , 7 , π, e, ...etc.}. Los números reales, constituyen un conjunto que tiene por subconjuntos a todos los anteriores, y que es a su vez, subconjunto del conjunto de los números complejos. Los números reales pueden ser representados mediante la recta real, cada punto de la recta real corresponde aun sólo número real, existiendo una correspondencia uno a uno. El cálculo se desarrolla en este conjunto. -∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ∞

-1,5 -3/4 7/4 π La recta real está ordenada, de modo que es posible establecer comparaciones como; -3 es menor que cero, 4 es mayor que -1, etc. En general podemos decir que; a es menor que b, ( a < b ) o bien que; b es mayor que a. Si nosotros considerásemos unvalor x, comprendido entre a y b podríamos decir que: a b c, si c < 0 Ejemplo. Resolver la siguiente desigualdad 4x - 3 > 2x + 1 4x - 2x > 1 + 3 2x > 4 x>2 o bien; 0 1 2 0 │x│ = -x, si x < 0 Esto significa que: a a Además, a a Por tanto

a

a

a

a

2

a

0

también a

b

si y sólo si

b a b

3

Ejemplo 1. Resolver

│x│ 3

Obviamente, parte de la solución de esteejercicio es x 3, pero puede observarse que x -3 también resuelve la ecuación, por tanto puede escribirse; -3 -4 -3 -2 x -1 3 ; 0 ( - ,-3 ] o [ 3, 1 2 ) 3 4

Ejemplo 2

-4

-3

-2

-1

-5 < 3x - 2 < 5 -3 < 3x < 7 -1 < x < 7/3 (-1 , 7/3) 0 1

2 7/3

3

4

Nótese que, al resolver el anterior ejercicio se ha resuelto la desigualdad │3x -2│< 5 Ejemplo 3 x/3 + x/4 > 6 4x + 3x > 6 • 127x >72 x > 72/7 ( 72/7 , ) 0 5 10 72/7 15 20 25

Ejemplo 4. Demostrar que: │a + b│ │a│ + │b│ ( Desigualdad Triangular ) Sumemos las desigualdades -│a│ a │a│ -│b│ b │b│ Entonces -│a│-│b│ a + b │a│ + │b│ -(│a│ + │b│) ( a + b ) (│a│ + │b│)

4

Considerando ( a + b ) como una sola cantidad con valor absoluto, se tiene: │a + b│ │a│ + │b│ lqqd. Ejemplo 5. Resolver

x² - 2x -8 > 0 ( x - 4 ) ( x+ 2) > 0 x+2>0 x > -2 A) x+20 y x>4 y La intersección de estas dos soluciones es x>4 o bien x-4 - x - 2 x + 2 > 8x - 12 > - x - 2 14 > 7x 9x > 10 x 10/9 ( - , 2 ) o ( 10/9 , )

4 2x 3 8 x 12 8 x 12
x + 2 < │8x - 12│ x + 2 < 8x - 12 < - x - 2 14 < 7x 9x < 10 x>2 x < 10/9 ( 2 , ) o ( - ,10 /9 )

x 2

7

(- ,

)

La solución final vendrá dada por la intersección de estas dos soluciones:[( V ,10 /9 ) o ( 2 , 10/9 F )] ∩ ( - , 2 V )

Ejemplo 9. Resolver
x 2 x 4 x 2 x

x 2 x 4
0

x 2 x
0

x( x 2) ( x 2)( x 4) ( x 4) x

( x2
x2

2 x) ( x 2 4 x 2 x 8) ( x 4) x
2 x x2 4 x 2 x 8 ( x 4) x 0

0
8 ( x 4) x 0

Esta inecuación se resuelve para los siguientes dos casos: a) x 4 0 x 4 x 4 x 0 b)
x 4 0 x 0 x 4 x 0

La solución final viene dada por la unión de lassoluciones de a) y b)
-

0

4

x 0

x 4

8

Ejemplo 10. Resolver

6 x 1 x 2 3 2 4 6 0 x x 1 x 2 3( x 1)( x 2) 2 x( x 2) 4 x( x 1) 6 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2)
6 x 3x 6 2 x 2 4 x 4 x 2 4 x 6 x 3 18 x 2 12 x x( x 1)( x 2) 6 x3 27 x 2 29 x 6 x( x 1)( x 2) 0

3 x

2

4

0
0

3x 2

( x 3)( x 0.271)( x 1.229) x( x 1)( x 2)

0

Esta inecuación puede resolverse aplicando la...