Ingenieria de Control

Respuestas a sistemas de primer orden
Funcion de Transferencia.
Termómetro Mercurio
Desarrollaremos la función de transferencia para un sistema de primer orden.
Ver figura.
Considere que el termómetro se localiza en una corriente de flujo para la cual la temperatura x varia con el tiempo. Nuestro problema es calcular la respuesta o la variación temporal de la lectura del termómetro y paraun cambio particular en x.
Las siguientes suposiciones serán usadas en este análisis.
1.- Todas las resistencias a la transferencia de calor residen en la película rodeando al bulbo.
2.- Toda la capacidad térmica esta en el mercurio. Mas aun, en cualquier instante, se supone una temperatura uniforme.
3.- La pared de vidrio conteniendo al mercurio no se expande o contrae durante la respuestatransitoria.
Se supone que el termómetro esta inicialmente en estado estacionario, en estado estacionario. Esto significa que, antes del tiempo cero, no hay cambio en la temperatura con el tiempo. A tiempo cero, se cambia la temperatura x(t) de los alrededores.
Aplicando el balance de energía en estado estacionario.
Velocidad de entrada – Velocidad de salida = velocidad de acumulación.

Donde.A = Area superficial del bulbo para la transferencia de calor (ft2).
Cp = Capacidad calorífica del mercurio, BTU/(lbm F)
M = masa del mercurio en el bulbo, lbm.
T = tiempo.
h = coeficiente de película de transferencia de calor. BTU/(hr ft2 F).
La velocidad de flujo de calor a través de la resistencia de película rodeando al bulbo causa un incremento en la energía interna del mercurio almismo tiempo.
Para la condición de estado estacionario,
, para tiempo menor que cero.
El subíndice s significa valor en estado estacionario.
Ys = xs significa que el termómetro lee la temperatura verdadera del ba;o.
Restando ecuaciones.

Note que , debido a que ys es constante.
Si definimos la variable de desviación como la diferencia entre las variables y su valor en estado estacionario.
,sustituyendo.



Aplicando la transformada de Laplace.
,
, Esta es la función de transferencia del sistema.
El parámetro  es llamado la constante temporal del sistema.
La función de transferencia es la relación de la transformada de Laplace de la desviación en la lectura del termómetro a la transformada de Laplace de la desviación en la temperatura de los alrededores.
Cualquiersistema físico para el cual la relación entre las transformadas de Laplace de las variables de desviación de la salida y entrada esta en la forma dada es llamado un sistema de primer orden.
Los sinónimos para sistemas de primer orden son respuestas de primer orden y estados exponenciales sencillos.
La introducción de las variables de desviación antes de aplicar la transformada de Laplace de laecuación diferencial resulta en una función de transferencia que no necesita las condiciones iniciales porque son cero.

Propiedades de la transformada de Laplace.
En general, una función de transferencia relaciona dos variables en un proceso físico, uno de esos es la causa (función forzante o variable de entrada), y la otra es el efecto (respuesta de la variable de salida).
Funcion detransferencia =
= (Transformada de Laplace de la respuesta)/(Transformada de Laplace de la función de entrada).
La función de transferencia completamente describe las características dinamicas del sistema.
Si seleccionamos una variación de entrada particular X(s), la respuesta del sisema es simplemente.
Y(s) = G(s)X(s).
Aplicando la anti transformada de Y(s) encontramos Y(t), o sea la respuesta delsistema.
La función de transferencia resulta de una ecuación diferencial lineal , por eso el principio de superposición es aplicable.


Ver figura.

Respuestas transitorias.
Funciones forzantes.
Funcion escalon.
X(t) = Au(t)
A = magnitud.
U(t) = es la function unitaria Escalon.
Ver figura.
X = 0, para t menor que cero.
X = A, para t mayor o igual a cero.
The Laplace transform is...