Ingenieria en ciencias y sistemas

Alianza para el Aprendizaje de las Ciencias y las Matemáticas (AlACiMa)

Introducción a Logaritmos y Exponenciales
Guía del Maestro Nivel 10-12 Actividad de Matemáticas Propósito: Se espera que el estudiante se familiarice con el concepto de los logaritmos y pueda utilizar sus propiedades y sus distintas representaciones, entre ellas la representación exponencial. El propósito principal deesta actividad es que el estudiante comprenda la importancia de las funciones logarítmicas y cómo éstas pueden ayudar a simplificar el análisis en algunos casos. Estándares: Manipulación con Logaritmos. Gráficas de funciones exponenciales, logarítmicas y gráficas semilogarítmicas. Tiempo: Entre dos y tres periodos de clase. Materiales: Papel, lápiz, papel cuadriculado (de 1 cm2), Calculadora gráfica(opcional). Preparación: No se requiere de ninguna preparación previa. Toda la información forma parte de la discusión de la actividad.

Trasfondo: Se espera que el estudiante haya sido expuesto al concepto de logaritmos y exponenciales. Inicio (Instrucciones Preliminares): En álgebra, exponentes enteros y exponentes racionales se definen por

1. a n = a ⋅ a ⋅ a L a 2. a − n = 3. a 0 = 1
q(n

veces)

1 an (a ≠ 0)

4. a p / q = a p = 5. a − p / q = 1 a p/q

( a)
q

p

Una de las cosas que queremos hacer es definir exponentes irracionales, dándole significado a expresiones como 2
3

ó 5π .

Sea b una constante positiva y considere la gráfica de la función f ( x) = b x , que hasta el momento solo ha sido definida para valores racionales de x . INSERTAR GRÁFICASPARA b=1, mayor que 1 y menor que 1 Como f solo está definida para valores racionales tenemos “espacios” vacíos. Nuestro deseo es rellenar estos espacios. ¿Por qué crees que las gráficas son así? ¿Puedes explicarlo en palabras? Recuerde de álgebra que un logaritmo es un exponente. Si b es un número positivo distinto de 1, entonces log b x (el logaritmo con base b de x ) representa la potencia a laque hay que elevar a b para obtener x . Ejemplo. 1. log10 100 = 2 pues 10 2 = 100 .

En general,

y = log b x ⇔ b y = x . Este es el diccionario para ir de la

representación logarítmica a la representación exponencial, y viceversa, de un número real. De estas representaciones, se puede ver que f ( x) = log b x y g ( x) = b x son funciones inversas la una de la otra. Si hacemos la composiciónde las funciones obtenemos log b b x = x y b logb x = x . Sabiendo que las funciones

( )

exponenciales y las logarítmicas son inversas las unas de las otras y habiendo visto las gráficas de las funciones exponenciales, ¿puedes hacer las gráficas de las funciones logarítmicas? ¿Qué habría que hacer?

(Las gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x .)
IMPORTANTE: Para cada baseb, log b x solo está definido para x > 0 . ¿Sabes por qué?

(Esto es ya que y = log b x es equivalente a x = b y y b y > 0 para todo valor real de y , ya que b es positivo.)
Observe que como b 0 = 1 , entonces tenemos que log b 1 = 0 . También, si suponemos que x = log b a y y = log b c , entonces a = b x y c = b y . Así las cosas ac = b x b y = b x + y . Por lo tanto, log b ac = x + y = log ba + log b c . Es decir,

log b ac = log b a + log b c
De manera similar podemos ver la validez de las siguientes propiedades

log b b = 1 ⎛a⎞ log b ⎜ ⎟ = log b a − log b c ⎝c⎠ log b (a r ) = r log b a ⎛1⎞ log b ⎜ ⎟ = − log b c ⎝c⎠
¿Puedes hacerlo? Trata de “imitar” las demostraciones de arriba.

Los logaritmos están definidos para cualquier base positiva distinta de 1, pero los másutilizados son con base 10, llamado logaritmo común y con base e ≈ 2.71828K , llamado logaritmo natural. El logaritmo natural se denota ln (leído “ele-ene”), log e x y ln x denotan el logaritmo natural de x . La base e es un número irracional, descubierto por el matemático suizo Leonhard Euler quien sugirió su uso como base para logaritmo en uno de sus artículos publicados en 1728. El número e puede...