Ingenieria En Contruccion
Páginas: 15 (3697 palabras)
Publicado: 3 de marzo de 2013
Matrices
Una matriz es un arreglo o disposición de mxn números colocados en m filas y n columnas.
Ej.
[pic][pic][pic]
Se dice que [pic] es una matriz de orden 2x4 o tamaño 2x4.
Los elementos o entradas de la matriz A son los 8 números:
1, 2, -1, [pic], 0, 1, [pic], -[pic].
En general [pic][pic]= Elemento o entrada de fila i, columna j.[pic][pic]= -1 [pic][pic]= [pic]
Ej.
B = [pic][pic]
[pic][pic]= 3 , [pic][pic]= -1 , [pic][pic]= 1
Una matriz genérica A, se expresa como:
A = [pic]
O más suscintamente A = [pic].
Ej. Escribir la matriz A de orden 2x3 si:[pic] = [pic]
[pic] =[pic]=0[pic] =[pic] =1
[pic]=[pic]=1 [pic] =[pic]=0
[pic] =[pic]=4 [pic] =[pic]=1
En consecuencia, A = [pic]
Ej. Escribir la matriz [pic] si:
[pic][pic]
En Consecuencia, B = [pic] i < ji > j i = j
Tipos de matrices
• Matriz cuadrada: (m = n) tiene igual números de filas y columnas.
Ej:
A = [pic]
Diagonal principal
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada tal que, [pic]
Ej:
A = [pic] [pic]
Diagonal principal
• Matriz nula:tiene [pic]
Ej:
A = [pic] Matriz nula de orden 3x4.
Ej:
B = [pic] Matriz nula de orden 5x1.
• Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, tal que: [pic] (los elementos fuera de la diagonal son todos 0).
Ej:
A = [pic]
Ej:
B = [pic] Es matriz nula y matriz diagonal.
• Matriz escalar: Es una matriz diagonal, tal que:[pic]
Ej:
D = [pic], aquí [pic]
•Matriz identidad: Matriz escalar con k=1.
Ej:
[pic][pic] [pic][pic] [pic][pic]
• Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada, tal que: [pic](bajo la diagonal hay solo ceros).
Ej:
A = [pic]
• matriz triangular inferior: matriz cuadrada, tal que: [pic] (sobre la diagonal hay solo ceros).
Ej:
A = [pic]
Así, todamatriz que es triangular superior y triangulo inferior a la vez, es una matriz diagonal y vice-versa.
Superior + inferior = diagonal
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas o variables es, por ejemplo:
2x + 3y= 5
x - y = 7
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 4 variables es, por ejemplo:
5x – 3y + 4z – 3u = 20
x + y + 3z – 4u = 5
Los números o coeficientes de las variables y el lado derecho del sistema se resume en la siguiente matriz:
[pic]
Matriz amentada del sistema
Ej.:
Un fabricante produce 3 tipos de productos A, B y C. Cada producto debe pasar por 2 tiposde maquinas [pic] y [pic].
Para fabricar una tonelada del producto A, se requiere 2 horas de [pic] y 2 horas de [pic].
Para fabricar una tonelada del producto B, se requiere 3 horas de [pic] y 2 horas de [pic].
Para fabricar una tonelada del producto C, se requiere 4 horas de [pic] y 3 horas de [pic].
La maquina [pic] está disponible por 8.000 horas, mientras que[pic] está disponiblepor 6.000 horas.
¿Cuántas toneladas de cada producto deberían producirse para ocupar exactamente los tiempos disponibles de [pic] y [pic], si se dispone de recursos para fabricar 2.500 toneladas en total?
Sol:
Maquinas
|producto |[pic] |[pic] |
|A |2 |2 |
|B |3 |2 |
|C |4 |3 |
|...
Una matriz es un arreglo o disposición de mxn números colocados en m filas y n columnas.
Ej.
[pic][pic][pic]
Se dice que [pic] es una matriz de orden 2x4 o tamaño 2x4.
Los elementos o entradas de la matriz A son los 8 números:
1, 2, -1, [pic], 0, 1, [pic], -[pic].
En general [pic][pic]= Elemento o entrada de fila i, columna j.[pic][pic]= -1 [pic][pic]= [pic]
Ej.
B = [pic][pic]
[pic][pic]= 3 , [pic][pic]= -1 , [pic][pic]= 1
Una matriz genérica A, se expresa como:
A = [pic]
O más suscintamente A = [pic].
Ej. Escribir la matriz A de orden 2x3 si:[pic] = [pic]
[pic] =[pic]=0[pic] =[pic] =1
[pic]=[pic]=1 [pic] =[pic]=0
[pic] =[pic]=4 [pic] =[pic]=1
En consecuencia, A = [pic]
Ej. Escribir la matriz [pic] si:
[pic][pic]
En Consecuencia, B = [pic] i < ji > j i = j
Tipos de matrices
• Matriz cuadrada: (m = n) tiene igual números de filas y columnas.
Ej:
A = [pic]
Diagonal principal
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada tal que, [pic]
Ej:
A = [pic] [pic]
Diagonal principal
• Matriz nula:tiene [pic]
Ej:
A = [pic] Matriz nula de orden 3x4.
Ej:
B = [pic] Matriz nula de orden 5x1.
• Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, tal que: [pic] (los elementos fuera de la diagonal son todos 0).
Ej:
A = [pic]
Ej:
B = [pic] Es matriz nula y matriz diagonal.
• Matriz escalar: Es una matriz diagonal, tal que:[pic]
Ej:
D = [pic], aquí [pic]
•Matriz identidad: Matriz escalar con k=1.
Ej:
[pic][pic] [pic][pic] [pic][pic]
• Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada, tal que: [pic](bajo la diagonal hay solo ceros).
Ej:
A = [pic]
• matriz triangular inferior: matriz cuadrada, tal que: [pic] (sobre la diagonal hay solo ceros).
Ej:
A = [pic]
Así, todamatriz que es triangular superior y triangulo inferior a la vez, es una matriz diagonal y vice-versa.
Superior + inferior = diagonal
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas o variables es, por ejemplo:
2x + 3y= 5
x - y = 7
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 4 variables es, por ejemplo:
5x – 3y + 4z – 3u = 20
x + y + 3z – 4u = 5
Los números o coeficientes de las variables y el lado derecho del sistema se resume en la siguiente matriz:
[pic]
Matriz amentada del sistema
Ej.:
Un fabricante produce 3 tipos de productos A, B y C. Cada producto debe pasar por 2 tiposde maquinas [pic] y [pic].
Para fabricar una tonelada del producto A, se requiere 2 horas de [pic] y 2 horas de [pic].
Para fabricar una tonelada del producto B, se requiere 3 horas de [pic] y 2 horas de [pic].
Para fabricar una tonelada del producto C, se requiere 4 horas de [pic] y 3 horas de [pic].
La maquina [pic] está disponible por 8.000 horas, mientras que[pic] está disponiblepor 6.000 horas.
¿Cuántas toneladas de cada producto deberían producirse para ocupar exactamente los tiempos disponibles de [pic] y [pic], si se dispone de recursos para fabricar 2.500 toneladas en total?
Sol:
Maquinas
|producto |[pic] |[pic] |
|A |2 |2 |
|B |3 |2 |
|C |4 |3 |
|...
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