Ingenieria En Sistemas
Páginas: 7 (1598 palabras)
Publicado: 7 de diciembre de 2012
Matrices y Determinantes
Introducción:
Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.
Las matrices se encuentran enaquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.
Matrices.
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del siguiente modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica lafila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
Así el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2.Que elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3.Queelemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3.Que elemento es c42?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
Tipos de Matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,es una matriz nula de tamaño 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n.
Por ejemplo,
es una matriz fila de tamaño 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1, como por ejemplo:
es una matriz columna de tamaño 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número defilas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. La matriz (2 1 3 4) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
En la matriz D del ejemplo anterior, sudiagonal principal estaría formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+ a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son lasmatrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, solo tiene elementos en la diagonal principal.
Una matriz de este tipo se denominamatriz diagonal.
Un ejemplo de matriz diagonal serıa:
Por ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
Aplicaciones de las Matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirvenpara clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F).
Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:
Sabiendo que en un año se venden el siguiente numero de paquetes:
Resumir la información anterior...
Introducción:
Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.
Las matrices se encuentran enaquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.
Matrices.
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del siguiente modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica lafila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
Así el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras mayúsculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2.Que elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3.Queelemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3.Que elemento es c42?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
Tipos de Matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,es una matriz nula de tamaño 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n.
Por ejemplo,
es una matriz fila de tamaño 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1, como por ejemplo:
es una matriz columna de tamaño 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número defilas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. La matriz (2 1 3 4) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
En la matriz D del ejemplo anterior, sudiagonal principal estaría formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+ a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son lasmatrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, solo tiene elementos en la diagonal principal.
Una matriz de este tipo se denominamatriz diagonal.
Un ejemplo de matriz diagonal serıa:
Por ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
Aplicaciones de las Matrices
Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirvenpara clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.
Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F).
Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:
Sabiendo que en un año se venden el siguiente numero de paquetes:
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