Ingenieria Mecania

Laboratorio de Física

APARATO DE OSCILACIÓN GIRATORIA Cálculo de momentos de Inercia 1. OBJETIVO Estudio de las vibraciones de torsión aplicadas a la determinación cuantitativa de momentos de inercia de distintos cuerpos. Comprobación experimental del teorema de Steiner. 2. FUNDAMENTO TEÓRICO La dinámica de la rotación nos indica que la variación temporal del momento angular, Lo, de un sistemade partículas es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, Mo, siendo “o” el centro de masas del sistema ó un punto fijo:
dL o = Mo dt

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Para un sólido rígido que gire con una velocidad ω alrededor de uno de los ejes principales de inercia: Lo = Io·ω (2) siendo Io el momento de inercia del sólido respecto de dicho eje, y por lo tanto:

Mo =

dL o d(I o ω)dω d2 Φ = = Io = Io 2 dt dt dt dt

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siendo Φ el ángulo de rotación. Para un muelle de torsión que se comporte de acuerdo a la ley de Hooke, el momento producido por el muelle será proporcional al ángulo de separación respecto a su posición de equilibrio: (4) Mo = -K .Φ donde K es la constante de recuperación del muelle. La ecuación del movimiento resulta ser entonces: d²Φ/dt² + (K/Io) Φ =0 que corresponde a un movimiento armónico simple con un período: T² = 4π²(Io/K)
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ecuación que nos permitirá determinar Io si conocemos K y medimos T. Si el sólido gira respecto a un eje paralelo al que pasa por su centro de masas situado a una distancia d, el momento de inercia, según el teorema de Steiner, será: I = Io + m d²siendo m la masa del cuerpo. En esta situación el período vendrá dado por la expresión: T² = (4π²/K) (Io + m d²) (8) (7)

3. MATERIAL UTILIZADO • • • • • • • • Eje de rotación Esfera de 14 cm de diámetro, con espiga tensora para su sujeción al eje de rotación. Cilindro hueco metálico de 10 cm de diámetro exterior y 0.4 cm de grosor de pared. El cilindro lleva en el centro una espiga tensora para lasujeción en el eje de rotación. Cilindro macizo con distribución homogénea de la masa y diámetro 10 cm. Una espiga tensora sirve para fijarlo directamente al eje de rotación. Barra con masas móviles, siendo la longitud de la barra de 60 cm. Las masas son iguales y se fijan a la varilla mediante tornillos aprisionadores. Disco con perforaciones diametrales. Dispone de una pieza tensora con espigapara la sujeción al eje de rotación. Barrera Fotoeléctrica con contador para medida del periodo. Dinamómetro para medida de la fuerza.

4. EXPERIMENTACIÓN
4.1.- Determinación de la constante de recuperación K del muelle de torsión

Se coloca el disco con perforaciones diametrales centrado sobre el eje de torsión, tal y como muestra la figura 1. Con un dinamómetro colocado sobre uno de losagujeros del disco, se determina la fuerza necesaria para girar el conjunto un ángulo determinado. Se mantendrá siempre el dinamómetro perpendicular al radio del disco para que el producto de la fuerza por la distancia, desde el punto de aplicación al centro del disco, dé directamente el momento de la fuerza, M. Se toma el valor de la fuerza para varios ángulos, utilizando los diferentes agujeros deldisco.

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Figura 1. Dispositivo experimental

Angulo Φ (rad)

Distancia d (m)

Fuerza F (N)

Momento M=F·d

Representen gráficamente el momento, M, en función del ángulo, Φ. Ajusten los datos a una recta por el método de mínimos cuadrados y, a partir de la pendiente calculen la constante de recuperación del muelle K, según se deducede la expresión (4).
4.2.- Comprobación experimental del teorema de Steiner

Se mide el período de oscilación del disco, T, en los diferentes agujeros que se encuentran a una distancia d del centro de masas. Para la medida de los períodos de oscilación se utiliza un contador de tiempos, ver figura 2. Asegúrense que está seleccionada la posición y sigan los siguientes pasos: - Coloquen el...