Ingenieria Mecanica

Autovalores y Autovectores AlgEcDif

Problema:
Tenemos una aplicación lineal L de [pic] (un endomorfismo).
En coordenadas toma forma matricial: Y = AX, donde Aes la matriz de aplicación.
Nuestro objetivo es cambiar los ejes del espacio de forma que la misma a aplicación L se represente en las nuevas coordenadas mediante una matriz A’ lo más simpleposible. Para ello es necesario cambiar las bases.

[pic]
P es una matriz de cambio de base. Las antiguas coordenadas X e Y del vector y su imagen son expresadas en la nueva base como X’ e Y’, y A’ esla matriz simplificada que las relaciona y que estamos buscando. En fórmulas:

Y = AX X=PX’ Y=PY’
Y’ = A’X’

Sustituimos X e Y en la ecuación Y=AX

PY’ = A P X’
Y’ = P-1 APX’ [pic]A’ =P-1AP

La nueva matriz viene dada por la fórmula A’ = P-1AP.
Se dice entonces que las matrices A y A’ están conjugadas o que son semejantes.

Def: A’ está conjugada con A (A’~A) si existeuna matriz P no singular tal que A’ = P-1AP. Se dice también que es semejante A a A’.

Relación de equivalencia. La conjugación satisface las tres propiedades básicas de las relaciones deequivalencia de la teoría de conjuntos
(1) Reflexiva: Una matriz A está conjugada con ella misma. P es la matriz de identidad.
A~A [pic] P = I
(2) Simétrica: Si A está conjugada conB, B está conjugada con A.
Demostración:
B = P-1AP, A= Q-1BQ
PB-1P = A [pic]QBP-1 = Q-1BQ [pic]Q = P-1[pic]B~A
(3) Transitiva: Si A~B y B~C, entonces A~C
[pic]Nuestro deseo es asociar a una matriz dada una matriz diagonal semejante por cambio de base. Ello se puede hacer casi siempre pero no siempre.

Diagonalización de Matrices
El modelo deseadoes una matriz del tipo
[pic]
Como punto de partida tenemos la matriz A de aplicación lineal, y tenemos que calcular los autovalores [pic] y la matriz de cambio de base P. Escribimos la matriz P...