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TEORIA DE JUEGOS
Estrategias Mixtas
Definición.- Consideremos un juego G con matriz de pagos [aij].Llamaremos estrategia mixta para el jugador I, a una distribución de probabilidades sobre el conjunto de alternativas de I.
Estas probabilidades se pueden interpretar como las frecuencias con que I elige los números 1,2,…, m. En lo sucesivo, usaremos los símbolos Sm para representar el conjuntoSm={X/X=(x1, x2, xm); ∑x i=1, xi≥0}
Análogamente para II, una estrategia mixta será un elemento del conjunto
Sn={Y/Y=(y1,y2,…,yn);∑y i=1,yi≥0}
Podemos extender nuestra definición de estrategias a los números 1,2,…,m y llamarlos estrategias puras para I. En este caso podemos interpretar k como la estrategia mixta (0,0,…1,…,0) donde xk=1,xs=0 para s≠k. En forma similar podemos considerarestrategias puras para II. Por lo tanto, toda distribución de probabilidades sobre el conjunto de estrategias puras es llamada una estrategia mixta.
Si I utiliza la estrategia mixta X y II utiliza Y, pondremos:
E(X, Y)=ijxiyj
Definición.- Sea [aij] la matriz de pagos de mxn de un juego G al juego en su forma normal. Se llama extensión mixta del juego G al juego H=(Sm, Sn, E(X, Y)).
La extensiónmixta es un nuevo juego, donde el jugador I escoge una distribución de probabilidades X=( x1,x2,…,xm) sobre su espacio de estrategias puras P={1,2,…m} y el jugador II escoge una distribución de probabilidades Y=( y1,y2,…,ym) sobre su espacio de estrategias puras Q={1,2,…n}, con un pago E(X,Y) al jugador I.
Definición.- Diremos que X*єSm, Y*єSn son estrategias mixtas óptimas para I y IIrespectivamente si:
E(X, Y*) ≤ E(X*, Y*) ≤E(X*, Y) (1)
Para todo XєSm, YєSn. A E(X*, Y*) se llame valor del juego H=(Sm, Sn, E(X, Y)). También se dice que (X*, Y*) es una solución del juego H o que es un punto de equilibrio estratégico.
Si X*, Y* son estrategias mixtas que satisfacen la condición (1) resulta que si I usa X*, estará seguro de ganar por lo menos E(X*, Y*),independiente de lo que haga II.
De manera análoga si II utiliza Y*, puede evitar que I obtenga más de E(X*, Y*).
Si se tiene que
E(X*, Y*)=max min E(X, Y)=min max E(X, Y) (2)
X Y Y X
entonces existe una estrategia mixta que cumple (1), de manera que el juego tiene un valor y existen estrategias optimas para ambosjugadores. A continuación vamos a enunciar el teorema fundamental de la teoría de juegos finitos, debido a Von Nuemann, el cual nos asegura que la extensión mixta de todo juego finito siempre tiene un punto de equilibrio, aunque la matriz de pagos original no lo tenga.
Teorema. Sea [aij] una matriz de pagos mxn de un juego G. Sea H=(Sm, Sn, E(X, Y)) su extensión mixta. Entonces E(X, Y) tiene unpunto de equilibrio (E*, Y*). Es decir que se cumple (2).
Una demostración elemental para el caso 2x2 se puede encontrar en [10]. Demostraciones para el caso general se puede encontrar en [3], [6], [7], [8], [11].
Solución numérica de juegos
Juegos dos por dos. Si ambos jugadores tienen dos alternativas y si el juego no tiene puntos de equilibrio, el juego puede ser resuelto de acuerdo a lasiguiente proposición.
Teorema. Sea la matriz de pagos de un juego G:

y sean (x1*, x2*),(y1*, y2*) estrategias optimas mixtas para I y II respectivamente. Entonces
x1* ; y1*=
donde  y 
y el valor del juego es
v = .
Demostracion. Por definición tenemos
a11 x1*+a21 x2*≥v
a12 x1*+a22 x2*≥v
a11 y1*+a12 y2*≤v
a21 y1*+a22 y2*≤v.
Considerando solo las igualdades, dos a dos,tenemos
 ; .
De donde se obtienen los valores de x1*, y1* y v. Nos falta demostrar que x1*/ x2*, y1*/ y2* son ≥ 0.Si la matriz G no tiene puntos de equilibrio, entonces los elementos de la matriz con mayor valor numérico se encuentran necesariamente en una de sus diagonales. Por lo tanto los únicos posibles ordenamientos de los elementos de la matriz son:
a11≥a22≥a12≥a21
a11≥a22≥a21≥a12...