Ingenieria

4. Radiación, fotones y la constante de Planck

4. RADIACIÓN, FOTONES Y LA CONSTANTE DE PLANCK
Introducción
En el Capítulo 3 vimos que el modelo atómico de Rutherford está de acuerdo con los resultados de los experimentos de dispersión de partículas α, pero que no hay ningún concepto de la física clásica que permite explicar el tamaño de los átomos. Aparentemente hay una constante de lanaturaleza, que aún no sabemos cómo interviene en la teoría, que determina ésta y otras propiedades no clásicas de la materia y la radiación. Cuando Rutherford formuló su modelo ya se conocía esa constante: se trata de la constante de acción de Planck, que fuera introducida por Max Planck cuando presentó un artículo sobre la radiación de cuerpo negro en la Sociedad Física Alemana a fines de 1900. Eneste Capítulo presentaremos algunas evidencias de la naturaleza universal de dicha constante, en lo referente a fenómenos en los que interviene la radiación electromagnética.

La teoría de Planck de la radiación de cuerpo negro
Ya estudiamos varios aspectos de la radiación de cuerpo negro1 y por lo tanto no volveremos sobre ello, pero queremos recordar que al estudiar la Mecánica Estadísticamostramos que la cantidad de modos de radiación electromagnética de frecuencia comprendida entre ν y ν + dν presentes en una cavidad de volumen V está dada por

N (ν )dν =

8πV 2 ν dν c3

(4.1)

y que la aplicación del teorema de equipartición, según el cual a cada modo de oscilación del campo electromagnético le corresponde en el equilibrio una energía media ε = kT (k es la constante deBoltzmann), lleva a la distribución espectral de Rayleigh-Jeans2: u(ν , T )dν = 8πν 2 8πν 2 kT ε dν = dν c3 c3 (4.2)

donde u(ν , T ) es la densidad de energía (energía por unidad de volumen) en el intervalo de frecuencia (ν , ν + dν ). La (4.2) contradice la experiencia y es a todas luces absurda pues al integrarla sobre todas las frecuencias predice una densidad de energía divergente (la“catástrofe ultravioleta”). En esa época se conocía la Ley de Wien, que se deduce a partir de argumentos puramente termodinámicos, y que establece que

u(ν , T ) = c1ν 3g(c2ν / T ) , c1, c2 = cte.

(4.3)

donde g es una función desconocida. La (4.3) implica que el máximo de u(ν , T ) ocurre para una frecuencia ν m que es proporcional a la temperatura, esto es ν m ~ T . Por otra parte las medi1 2

VerTermodinámica e introducción a la Mecánica Estadística, Capítulos 15 y 18. Deducida por Lord Rayleigh (John William Strutt) en 1900. En su trabajo, publicado en Nature en 1905, estimó

mal el número de modos, por un factor 8 en exceso, error que fue corregido ese mismo año por James Jeans. También corresponde mencionar que en 1905 Einstein obtuvo la fórmula (4.2) en su artículo sobre el efectofotoeléctrico que se comenta más adelante.

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4. Radiación, fotones y la constante de Planck ciones de u(ν , T ) que se conocían antes de 1900 cubrían solamente el rango de frecuencias altas, más allá del máximo de u(ν , T ) . En base a esos datos Wien propuso en 1896 la fórmula empírica

u(ν , T ) = Aν 3e − Bν / T

, A, B = cte.

(4.4)

que tiene la forma (4.3) y por lo tanto cumplela Ley de Wien, y con elecciones adecuadas de las constantes permite un buen ajuste de las mediciones disponibles hasta ese momento. En 1900 Otto Lummer y Ernst Pringsheim, y también Heinrich Rubens y Ferdinand Kurlbaum llevaron a cabo mediciones muy precisas en un rango de frecuencias bajas que hasta entonces no de había estudiado y encontraron que la fórmula (4.4) está en desacuerdo con losvalores medidos, según los cuales para frecuencias muy bajas se tiene

u(ν , T ) ~ ν 2 T

(4.5)

Al conocer estos resultados3 Planck propuso una fórmula que interpolara entre (4.4) y (4.5). Dicha fórmula es la siguiente:
u(ν , T )dν = 8πν 2 hν dν hν / kT 3 c e −1

(4.6)

y es la célebre distribución de Planck. Ajustando la (4.6) a la distribución espectral observada, Planck determinó...