Ingenieria
Páginas: 6 (1331 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2011
Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
Sea f una función continua con ecuación [pic], definida en un intervalo [pic].
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [pic].
|[pic] |
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función fes:
1. Creciente en los intervalos [pic], [pic]
2. Decreciente en los intervalos [pic], [pic]
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.
Note además que en los puntos [pic], [pic]y [pic]la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir,la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
| |Teorema 1 |
| |Sea f una función continua en un intervalo cerrado [pic]y derivable en el intervalo abierto [pic]. |
| |Si [pic]paratoda x en [pic], entonces la función f es creciente en [pic]. |
| |Si [pic]para toda x en [pic], entonces la función f es decreciente en [pic]. |
| |Demostración: Al final del capítulo. |
| | |
Ejemplos:
1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación [pic].
Para ello calculemos la primera derivada de [pic].
Como [pic], o sea si [pic], entonces f es creciente para [pic].
Como [pic], o sea si [pic], entonces f es decreciente para [pic].
En la representación gráfica dela función puede observarse lo obtenido anteriormente.
| [pic] |
2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación [pic]con [pic].
La derivada de f está dada por [pic]que puede escribirse como [pic]
Como [pic]es positivo para toda x en [pic]entonces:[pic] y
[pic]
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
|[pic] |
3. Luego: [pic]si [pic]por lo que la función f crece en el intervalo [pic].
Además: [pic]si [pic]de donde la función f decrece en el intervalo [pic].
La representación gráfica de la función es la siguiente:
4.
|[pic]|
5.
6. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación [pic], con [pic].
La derivada de f es [pic].
Como [pic]es mayor que cero para x en [pic], [pic], y además [pic]entonces [pic]para todo x en [pic][pic], por lo que la función f es decreciente para x en [pic], [pic]. La siguiente, es larepresentación gráfica de dicha función:
|[pic] |
Maximos y mínimos en una función
Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.
Imagen:
[pic]Maximode una función
Imagen:
[pic]Mínimo de una función
La convexidad de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica; es el concepto opuesto a la concavidad.
En un espacio vectorial real o complejo, se dice que una parte C es convexa si para cada par de puntos de él, el segmento que los reúne está totalmente...
Sea f una función continua con ecuación [pic], definida en un intervalo [pic].
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [pic].
|[pic] |
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función fes:
1. Creciente en los intervalos [pic], [pic]
2. Decreciente en los intervalos [pic], [pic]
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.
Note además que en los puntos [pic], [pic]y [pic]la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir,la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
| |Teorema 1 |
| |Sea f una función continua en un intervalo cerrado [pic]y derivable en el intervalo abierto [pic]. |
| |Si [pic]paratoda x en [pic], entonces la función f es creciente en [pic]. |
| |Si [pic]para toda x en [pic], entonces la función f es decreciente en [pic]. |
| |Demostración: Al final del capítulo. |
| | |
Ejemplos:
1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación [pic].
Para ello calculemos la primera derivada de [pic].
Como [pic], o sea si [pic], entonces f es creciente para [pic].
Como [pic], o sea si [pic], entonces f es decreciente para [pic].
En la representación gráfica dela función puede observarse lo obtenido anteriormente.
| [pic] |
2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación [pic]con [pic].
La derivada de f está dada por [pic]que puede escribirse como [pic]
Como [pic]es positivo para toda x en [pic]entonces:[pic] y
[pic]
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
|[pic] |
3. Luego: [pic]si [pic]por lo que la función f crece en el intervalo [pic].
Además: [pic]si [pic]de donde la función f decrece en el intervalo [pic].
La representación gráfica de la función es la siguiente:
4.
|[pic]|
5.
6. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación [pic], con [pic].
La derivada de f es [pic].
Como [pic]es mayor que cero para x en [pic], [pic], y además [pic]entonces [pic]para todo x en [pic][pic], por lo que la función f es decreciente para x en [pic], [pic]. La siguiente, es larepresentación gráfica de dicha función:
|[pic] |
Maximos y mínimos en una función
Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.
Imagen:
[pic]Maximode una función
Imagen:
[pic]Mínimo de una función
La convexidad de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica; es el concepto opuesto a la concavidad.
En un espacio vectorial real o complejo, se dice que una parte C es convexa si para cada par de puntos de él, el segmento que los reúne está totalmente...
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