ingenieria

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Transformada de Laplace

1

2 Trasformadas de algunas funciones elementales

3

3 Propiedades de la trasformada de Laplace

6

4 Traslaciones, cambios de escala

7

5 Funciones periódicas

8

6 Convolución. Teorema delproducto de transformadas

8

7 Algunas técnicas de cálculo de transformadas inversas

8

8 Función delta

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Transformada de Laplace

En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa-resorte o de un circuito eléctrico
en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial
mx00 + bx0 + kx = f (t) ,
Lq 00 + Rq 0 +

1
Cq

= V (t)

es una funciónforzada y puede representar a una fuerza externa f (t) o a un voltaje aplicado V (t). Ya
hemos resuelto problemas en los que estas funciones eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse
con funciones continuas por tramos, en cuyo caso resolver la ecuación diferencial que describe el circuito
no es fácil. La transformada de Laplace que estudiaremos en este tema es una valiosa herramienta pararesolver estos problemas.
Definition 1 Sea f : [0, +∞) → R. Se llama transformada de Laplace de f a la función F (s) definida
por la integral
Z∞
Zb
F (s) =
e−sx f (x)dx = lim
e−sx f (x)dx,
(1)
b→∞

0

0

en todos los valores de s para los cuales la integral impropia sea convergente.

A la función f se la llama transformada inversa de Laplace de F . La función F suele representarsecon el símbolo L[f ], y con frecuencia se escribe también F (s) = L[f (x)]. Asimismo, la función f se suele
representar con el símbolo L−1 [F ], escribiéndose f (x) = L−1 [F (s)].

Existen funciones para las cuales la integral impropia (1) no converge para ningún valor de s. Por
ejemplo, éste es el caso para la función f (t) = 1/t, que crece demasiado rápido cerca de cero. Del
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mismo modo,no existe la transformada de Laplace de la función f (t) = et que crece muy rápidamente
cuando t → ∞. Consideraremos, en lo que sigue, algunas propiedades que asegurarán la existencia de la
transformada de Laplace.

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Tema 4. La transformada de Laplace. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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Definition 2 Se dice que una función f es continua por tramos, si en cadaintervalo (a, b) existe una
partición {x0 , x1 , . . . , xn }
a
b
x0

x1 x2

xn−1

xn

de modo que
a) La función es continua en cada subintervalo (xi−1 , xi ).
b) Los límites de f cuando x tiende a los extremos de cada subintervalo, son finitos.
Nota: Obsérvese que en la definición anterior se exige que f esté definida y sea continua en todos los
puntos del intervalo (a, b) salvo enlos puntos de dicha partición. Pero, aunque la función no esté definida
en los puntos de la partición, en todos ellos deben existir los correspondientes límites laterales.
Para establecer las condiciones de existencia de la integral de Laplace, es preciso hacer algunas hipótesis acerca de la función f . Comenzaremos por suponer que f es continua por tramos en cualquier
intervalo (a, b) ⊂ [0, +∞).Ello implica que la función e−sx f (x) es integrable en todo intervalo de la
forma [0, b] con b > 0, así que la existencia de la integral de Laplace dependerá del comportamiento del
integrando para valores grandes de x .
Definition 3 Se dice que la función f (x) es de orden exponencial α si existen constantes positivas M y
x0 tales que
e−αx |f (x)| < M para todo x ≥ x0 .
Se puede probar quesi f es de orden exponencial α, entonces lim e−sx f (x) = 0, para todo s > α.
x→∞

Las funciones que normalmente se encuentran al resolver ecuaciones diferenciales lineales son a la vez
continuas por tramos y de orden exponencial. Las transformadas de dichas funciones existen para valores
de s suficientemente grandes.
Theorem 1 Si f (x) es una función continua por tramos en [0, +∞) y de...