Ingenieria

Spanish version

Primer d´ ıa
25 de julio de 2007

Problema 1. Sean a1 , a2 , . . . , an n´meros reales. Para cada i (1 ≤ i ≤ n) se define u di = max{aj : 1 ≤ j ≤ i} − min{aj : i ≤ j ≤ n} y sea d= max{di : 1 ≤ i ≤ n}. (a) Demostrar que para cualesquiera n´meros reales x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn , u d max{|xi − ai | : 1 ≤ i ≤ n} ≥ . 2 (∗)

(b) Demostrar que existen n´meros reales x1 ≤ x2 ≤ · · ·≤ xn para los cuales se cumple u la igualdad en (∗). Problema 2. Se consideran cinco puntos A, B, C, D y E tales que ABCD es un paralelogramo y BCED es un cuadril´tero c´ a ıclico y convexo. Sea unarecta que pasa por A. Supongamos que corta al segmento DC en un punto interior F y a la recta BC en G. Supongamos tambi´n que EF = EG = EC. e Demostrar que es la bisectriz del ´ngulo DAB. a Problema 3.En una competencia de matem´ticas algunos participantes son amigos. a La amistad es siempre rec´ ıproca. Decimos que un grupo de participantes es una clique si dos cualesquiera de ellos son amigos. (Enparticular, cualquier grupo con menos de dos participantes es una clique). Al n´mero de elementos de una clique se le llama tama˜o. u n Se sabe que en esta competencia el mayor de los tama˜os de lascliques es par. n Demostrar que los participantes pueden distribuirse en dos aulas, de manera que el mayor de los tama˜os de las cliques contenidas en un aula sea igual al mayor de los tama˜os de n nlas cliques contenidas en la otra. Problema 4. En un tri´ngulo ABC la bisectriz del ´ngulo BCA corta a la circunfea a rencia circunscrita en R (R = C), a la mediatriz de BC en P y a la mediatriz de ACen Q. El punto medio de BC es K y el punto medio de AC es L. Demostrar que los tri´ngulos RP K y RQL tienen ´reas iguales. a a

Problema 5. Sean a y b enteros positivos tales que 4ab − 1 divide a(4a2 − 1)2 . Demostrar que a = b. Problema 6. Sea n un entero positivo. Se considera S = {(x, y, z) : x, y, z ∈ {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0} como un conjunto de (n + 1)3 − 1 puntos en el...