ingenieria

Apuntes de elementos de
mecánica del medio continuo
Marco Antonio Reyes Huesca
Departamento de Termo‡
uidos,
División de Ingeniería Mecánica e Industrial,
Facultad de Ingeniería,
Universidad Nacional Autónoma de México
Sem 2009-II
Actualización: 4 de marzo de 2008

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Índice general
1. Introducción y fundamentos generales
1.1. Concepto de medio continuo . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1.1.1. Medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Número de Knudsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Conceptos básicos de análisis vectorial y tensorial
2.1. Notación indicial, convención de la suma y matrices . . . . . . .
2.1.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Espacio Euclideano.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos . . . . .
2.2.2. Vectores base de un sistema de coordenadas curvilíneo en
E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Métrica fundamental de un espacio euclideano . . . . . .
2.3. El concepto detensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Tensores de segundo orden absolutos . . . . . . . . . . . .
2.4. Cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Derivadas parciales de los vectores base:
Los símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Derivada parcial covariante de un campo tensorial . . . .
2.4.3. El operadorgradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. El operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. El operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6. El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7. El operador v r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.8. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

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3. Deformación y rapidez de deformación
3.1. Deformación de un medio continuo . . . . .
3.1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana
3.1.2. Deformación de un cuerpo . . . . . .
3.1.3. Tensores de deformación y de . . . .
3.1.4. Medidas de strain . . . . . . . . . .
3.2. Vector de desplazamiento . . . . . . . . . .
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iv

ÍNDICE GENERAL
3.3. Relaciones de los gradientes de deformación-tensión . . . . . . . .
3.3.1. Tensor de rotaciónin…nitesimal . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Descripción material o lagrangiana . . . . . . . . . . . . .
3.5. Rapidez de cambio de deformación, rapidez de cambio de tensión
y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Cambios en la longitud, área y volumen durante la deformación.

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4. Esfuerzo
4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de super…cie. Vector esfuerzo
4.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy . . . . . . . . . . . . .
4.3. El tensor de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos . . . .
4.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Esfuerzoscortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios . . . . . . . . .

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5. Ecuaciones generales de balance
5.1. Ecuaciones de balance global . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . .
5.1.2. Ley del...