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Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans






La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polosen lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica.

W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro delsistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto.



Sea el siguiente sistema de control



La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

K
G s =
C ( s )
K
( ) s (s + 4)
=
R (s ) s2 + 4s + K

Laecuación característica de lazo cerrado

s2 + 4s + K = 0

Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son

s1 , s2 = −2 ±
4 − K




K
s1
s2
0
-4
0
1
-3.732
-0.267
2
-3.414
-0.585
3
-3
-1
4
-2
-2
5
-2-i
-2+i
8
-2-2i
-2+2i
13
-2-3i
-2+3i













Lugar geométrico de las raíces



De la grafica:
El sistema es establesi del plano s .

K > 0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo

Respuesta transitoria

1. Sobreamortiguada (ζ > 1)



(Polos reales y diferentes)

0 < K < 4

2. Críticamente amortiguada (ζ = 1) (Polos reales e iguales)

K = 4

3. Subamortiguada (0 < ζ < 1) (Polos complejos conjugados)

K > 4

4. Sin amortiguamiento (ζ = 0)



(Polosimaginarios)
No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.



Gráfica del lugar geométrico de las raíces


Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es


La ecuación característica de este sistema es

1 + G ( s ) H ( s ) = 0


C ( s )
R ( s )


G ( s )
=
1 + G (s ) H (s )
o bien

G ( s ) H ( s) = −1

El término G ( s ) H (s )
es un cociente de polinomios en s .
Como G (s ) H ( s ) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo

Condición de ángulo


∠G (s ) H (s ) = ±180º (2k + 1) (k = 0, 1, 2,K)

Condición de magnitud

G ( s ) H ( s ) = 1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de laecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.


Magnitud y Ángulo en el plano s.

Porejemplo Si G ( s ) H (s )
es

K ( s + z1 )
G ( s ) H ( s ) = ( s + p )(s + p )(s + p )(s + p )
en donde − p2 y − p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G (s ) H ( s ) es

∠G (s ) H (s ) = ∠(s + z1 ) − ∠(s + p1 ) − ∠(s + p2 ) − ∠(s + p3 ) − ∠(s + p4 )

∠G (s ) H (s ) = φ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4



La magnitud de G ( s ) H (s )
para este sistema es

K s +z
G ( s ) H ( s ) = 1
s + p1
s + p2
s + p3
s + p4

G ( s ) H ( s ) = K B1
A1 A2 A3 A4







Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces.


1 Inicio y final de las trayectorias
Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto
G (s ) H ( s )
con...