ingenieria
0. Generalidades
CAP
TULO 0: GENERALIDADES
I
1 Noci
n de matriz polinomial
o
Consideremos una matriz L cuadrada de orden n cuyos coe cientes son polinomios
en la variable y a coe cientes complejos:
0 p : : : p 1
1n
B 11..
. C 2 MnnC
. A
L = @ .
.
pn1 : : : pnn
Esto es, pij 2 C , y para todo 0 2 C , L0 2 MnnC.
De nici
n 1:o
La matriz L se denomina matriz polinomial o -matriz.
Ejemplo 1:
N
tese que
o
L =
3 + + 2
2+
, + 22 3
`
` + A`,1 `,1 + : : : + A1 + A0 = X Ai i
L = A`
i=0
donde ` es el grado del polinomio pij de L de mayor grado.
Es decir, L es un polinomio de grado ` cuyos coe cientes son matrices cuadradas
a coe cientes complejos.
© losautores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones
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Introducci
n a la teor
a de matrices polinomiales
o
Ejemplo 2:
a Considerando L de nida en el ejemplo 1,
2 1 0 + 1 1 + 3 2
L = 2 0
,1 0
0 3
b Sea A 2 MnnC. La matriz L = A , I es una matriz polinomial.
c Toda matriz A 2Mnn C puede ser vista como caso particular de matriz polinomial de grado cero.
De nici
n 2:
o
Diremos que una matriz polinomial L es m
nica si y s
lo si A` = In .
o
o
Ejemplo 3:
a La matriz polinomial
1 0
1
1
3 2
0 1 + ,1 0 + 0 3
es m
nica; no as
la matriz polinomial considerada en el ejemplo 2 a.
o
L = 2
b I , A es unamatriz polinomial m
nica; no as
A , I .
o
De nici
n 3:
o
Dada una matriz polinomial L, diremos que es regular si det L no es id
nticamente
e
nulo.
N
tese que si L no es regular los coe cientes del polinomio det L son todos
o
id
nticamente nulos.
e
Ejemplo 4:
La matriz polinomial A , I es siempre regular el polinomio caracter
stico de una
matriz tienegrado n .
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.
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0. Generalidades
2 Operaciones con matrices polinomiales
Matrices polinomiales del mismo orden pueden ser sumadas y multiplicadas con las
operaciones habituales de suma y producto de matrices; y en cada caso se obtiene otra
matriz polinomial.
Ejemplo 1:
Sean L1 =
2 + , 2
2 + 22
1 , , L = 1 .Entonces su suma es:
2
,
2 ,
2
L1 + L2 = 32+ + , ,1
3 2 2
y su producto es:
2 + 3
+ 2 2 , 3
L1 L2 = 2 + 2,, 3 32 23
2
+
Proposici
n 1:
o
El conjunto de matrices polinomiales del mismo orden, con las operaciones de suma y
producto, tiene estructura de anillo.
De nici
n 1:
o
Diremos que una matriz polinomial L1 esinversible si existe una matriz polinomial
L2 del mismo orden que L1 tal que
L1 L2 = L2 L1 = I
La matriz polinomial L2 la llamaremos matriz polinomial inversa de L1 y escribiremos
L2 = L1 ,1
Proposici
n 2:
o
Una matriz polinomial L es inversible si y s
lo si
o
© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.
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Introducci
n a lateor
a de matrices polinomiales
o
det L = a 2 C; a 6= 0
Demostraci
n:
o
Se deja, como ejercicio, para el lector.
De nici
n 2:
o
Una matriz polinomial L se dice que es unimodular si
det L = a 2 C; a 6= 0
Despu
s de esta de nici
n, la proposici
n anterior puede enunciarse de la siguiente
e
o
o
manera:
Proposici
n 3:
o
Una matriz polinomial L es...
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