Ingenieria

Taller 1 Matem´ ticas Especiales

*
1. Exprese los siguientes numeros complejos en la forma a + bi.
´
√
(1 + 3i)−10
1 + 2i 2 − i
+
3 − 4i
5i
2. Seanz, w ∈ C. Muestre que
z+w

2

+ z−w

2

=2 z

2

+ w

2

y deduzca de esto que
√
√
z + z2 − w2 + z − z2 − w2 = z + w + z − w
3. Si z = 1,entonces pruebe que
az + b
=1
¯
¯
bz + a
4. Encuentre el argumento principal de los siguientes numeros complejos
´
−

2
√

1 + 3i
√
( 3 − i)6
5.Sean z = reiθ y w = Reiφ , donde 0 < r < R. Pruebe que
w+z
R2 − r2
= 2
w−z
R − 2Rr cos θ − φ + r2
6. Utilizando la representacion polar de un numerocomplejo, resuelva la
´
´
ecuacion z8 = 1 en C. Muestre que la suma de las soluciones es 0.
´
7. Dibuje cada una de las siguientes conjuntos y su imagen por lafuncion
´
z
f (z) = e .
1

{z ∈ C|0 < Re(z) < 1}
{z ∈ C|0 < Re(z) < 1, 0 < Im(z) <
{z ∈ C| z ≤

π
}
2

π
}
4

8. Se definen las siguientesfunciones para cualquier z ∈ C
cosh(z) =

ez + e−z
;
2

sinh(z) =

eiz + e−iz
;
2

sin(z) =

ez − e−z
2

Recuerde adem´ s que
a
cos(z) =eiz − e−iz
2i

Muestre que cos(z) 2 = cos2 (x) + sinh2 (y) Donde z = x + iy. Encuentre
todos los ceros de cos(z).
Muestre que cosh(iz) = cos(z) y quesinh(iz) = i sin(z)
9. Encuentre el dominio y el rango de las siguientes funciones
z
−5
f (z) = cosh(z)
f (z) =

z3

z2 + 1
f (z) = 2
z +z+1−i
10. Hallelos siguientes l´mites
ı
z2 + 1
l´m 4
ı
z→i z − 1
z2 + 9
l´m
ı
z→3i z − 3i
l´m
ı

z→∞

z3 +3iz2 +7
z2 −i
2

l´m z
ı

z→1−i

2