INGENIERIA


Estadística
Semestre otoño 2008
Guía control 1


Pregunta 1: Sea en donde es conocida.
a) Calcule .
b) Deduzca un estimador insesgado de basado en una muestra aleatoria simple de tamaño n.
c) Calcule la varianza de (se usara el cambio de variable ). Concluye se es consistente para .

Pregunta 2:
Se considera una distribución de Poisson de parámetro : () y una distribución apriori para : Gamma(2,5): con , en donde la esperanza y varianza a priori de son: y .
Encuentre el estimador de Bayes de para una función de perdida cuadrática. ¿Es asintoticamente insesgado? ¿Es consistente?

Pregunta 3:
a) Sea una muestra aleatoria simple de una distribución con densidad
b) Calcule la esperanza y la varianza de X (Se recomienda usar la función generatriz de losmomentos de X).
c) Encuentre el estimador de los momentos de . ¿Que inconveniente puede tener? ¿Es insesgado? ¿Es consistente?
d) Encuentre el estimador de Máxima Verosimilitud de . ¿Es asintoticamente insesgado? ¿Es consistente? (Se recomienda usar la función generatriz de los momentos de ).

Pregunta 4: Sea una muestra aleatoria simple de una v.a X de distribución con densidad

a)Muestre que sigue una distribución exponencial

b) Deducir el estimador de Máxima Verosimilitud de , suponiendo conocido.
c) Calcule la esperanza y la varianza de .
d) Dé el estimador de Máxima Verosimilitud de . Justifique.
e) Muestre que el estimador es de mínima varianza entre todos los estimadores insesgados de .

Pregunta 5: Se consideran dos variables normales, e . Se tienen dosmuestras independientes: una muestra aleatoria simple de X y una muestra aleatoria simple de Y. Se consideran todos los estimadores de de la forma .
a) Determine una condición sobre los coeficientes ai y bj para que el estimador de sea insesgado.
b) Determine los coeficientes ai y bj para que el estimador de sea insesgado y de varianza mínima. Deduzca la expresión de .
c) El estimador de 3.2es de mínima varianza entre los estimadores insesgados de la forma . Usando la desigualdad de Cramer-Rao verifique si es de mínima varianza entra todos los estimadores insesgados de .

Pregunta 6: Para las próximas elecciones municipales, un alcalde debe decidir si postular o no a su reelección. Sea p la proporción de votantes que votaría por él. Suponga que el alcalde contrata a un consultorpara que estime p a partir de una encuesta. El consultor observa que de un total de n encuestados, un número z votará por el alcalde. El alcalde lo contrató a Ud. como experto en Estadística para que le ayude a tomar una decisión respecto de su postulación.

a) Suponga que Ud conoce toda la información de la muestra; es decir, que observa las respuestas entregada por cada uno de losencuestados i. Demuestre que el estimador de máxima verosimilitud para p está dado por: .
b) Verifique si el estimador es consistente.
c) Verifique si la varianza del estimador alcanza la varianza mínima para los estimadores insesgados.
d) Suponga ahora que, dada su experiencia en elecciones anteriores, el alcalde le comunica que cree que el parámetro p se distribuye a priori según una distribuciónBeta(1,2). Si la función de pérdida es cuadrática, determine el estimador de Bayes para p. (Ayuda: Puede serle útil saber que).
e) Calcule los errores cuadráticos medios de los estimadores y . y .
f) Determine para qué tamaños muestrales n se tiene que: 0 parámetro conocido.
a) Muestre que y .
b) Encuentre el estimador de Máxima Verosimilitud de .
c) Calcule la esperanza y la varianza de. Deduzca que es consistente .
d) Utilizando la desigualdad de Cramer-Rao averigüe si el estimador es de mínima varianza entre todos los estimadores insesgados.
e) Se supone ahora que es conocido y a desconocido. Encuentre el estimador de verosimilitud de a.


Pregunta 10: Se considera n datos de temperaturas independientes {x1, x2,...,xn} en grados Celsius con . Supondremos que n es...