ingenieria




álgebra


Matrices y determinantes




Nombre: Ariel Richard Subelza Flores
# de ID: UB270000SEL35503
Grado: Licenciatura
Especialidad: Ingeniería Eléctrica



Autor: Carlos Ivorra Castillo
10.1 MATRICES.
Definicion 10.1 Sea A un anillo unitarrio y m, n numeros naturales no nulos.
Una sobre A es una aplicación
Escribiremos enlugar de y tambien . En la práctica escribiremos los elementos de una matriz dispuestos en filas y columnas
Así:


Llamaremos al conjunto de todas las matrices Sobre .
Las matrices se llaman matrices cuadradas. Escribiremos en lugar de .
Evidentemente dos matrices B = y C = son iguales si o solo si tienen las mismas dimensiones y = para todo par de índices
Podemosidentificar los elementos de con las matrices , es decir, con las matrices con una sola fila y columnas. Estas matrices se las llama matrices fila. Cuando es un anillo de división se las llama también vectores fila.
Por analogía, las matrices , es decir, es decir, las matrices que constan de una sola columna matrices columna o vectores columna cuando es anillo de división.
En las matrices fila ycolumna suprimiremos el índice fijo, es decir las representaremos así:

Llamaremos matriz traspuesta de una matriz B ϵ a la matriz que resulta de incrementar las filas de por sus columnas, es decir la componente de. Es la componente de B.
De este modo, la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa. Claramente = B.
Una matriz cuadrada B es simétrica sin B =, es decirsi = para todo par de índices .

La fila -ima de una matriz B es la matriz fila = La columna - esima de la matriz B es la matriz columna


Luego, en este sentido, una matriz tiene filas y columnas.
Llamaremos matriz nula de orden a la matriz que tiene todas sus componentes iguales a 0.
Llamaremos diagonal principal de una matriz cuadrada B ϵ a la - tupla
Una matrizcuadrada es una matriz diagonal si tiene nulas todas sus componentes que no están en la diagonal principal.
Una matriz diagonal es una matriz escalar si tiene todas sus componentes de la diagonal principal iguales entre sí.
La matriz identidad de orden es la matriz escalar cuyas componentes de la diagonal principal son iguales a 1. La representaremos por .
Si definimos la delta de Kroneckermediante


Entonces = .
Ahora definimos unas operaciones con matrices:
Si B = y C = son matrices , llamaremos a la matrices dada por =
Si B = es una matriz y ɑ ϵ , llamaremos ɑ B a la matriz dada
por ɑ B = .
Con estas operaciones se convierte en un –modulo libre de rango . Una base la forman las matrices que tiene 1 en cada una de las posiciones posibles y lasrestantes componentes nulas.
La estructura de –modulo en los espacios de matrices fila no es sino la estructura usual en los espacios .
Finalmente definimos el siguiente producto de matrices:
Si y la matriz es la que tiene en la posición el elemento .
Es pura rutina comprobar las propiedades siguientes (que se cumplen cuando las dimensiones de las matrices son las apropiadas):
B
B(B
B
Si es conmutativo .
En general, el producto de matrices no es una operación interna en el conjunto , pero si lo es en los espacios de matrices cuadradas. Los espacios , son anillos unitarios con la suma y el producto de matrices.
Salvo en casos triviales no son conmutativos .La aplicación que a cada elemento le asigna la matriz escalar es un monomorfismo de anillos, con lo que podemosidentificar los elementos de con las matrices escalares, y así es un subanillo de . El producto de una matriz por el elemento coincide con el producto por la matriz .
Vamos a dar una interpretación de todo esto en términos de módulos.
Sea un -modulo libre de rango finito . Una base ordenada de es una -tupla
B = tal que forma q una base .
Llamaremos sistemas de coordenadas asociado a...