Ingenieria

5.1 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales yse cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vectorúnico Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Tres notas sobre notación.
1. Se escribe T: V → W paraindicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escribenindistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplentambién para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
* Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llamanoperadores lineales.
* Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en elplano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mxpara algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal condominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es...