Ingenieria

Deflexión de una viga aplicando transformada de Laplace

Muchas estructuras se construyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo sus propio peso o por la influencia dealguna fuerza externa. Esta deflexión y(x) está gobernada por una ecuación diferencial lineal de 4to orden relativamente simple.
Para una viga de longitud L que no esté sometida a una carga excepto asu propio peso, la línea que atraviesa el centroide de sus secciones laterales se llama eje de simetría. Cuando la viga se somete a una carga además de la su propio peso esta experimenta unadistorsión en el eje de simetría convirtiéndolo en una curva llamada curva de deflexión o curva elástica. Si X coincide con el eje de simetría, entonces la curva elástica y(x) es positiva si es hacia abajo ynegativa si es hacia arriba.
Según la teoría de elasticidad la relación entre el momento de flexión en un punto X a lo largo de la viga y la carga por unidad de longitud W(x) es:

(Pendiente laformula )
Y el momento de flexión M(x) es proporcional a la curvatura K de la curva elástica:
(Pendiente la formula)
Donde E es la constante del módulo de Young de elasticidad del material de la vigae I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. En cálculo la curvatura está dada por: (Pen). Cuando la deflexión y(x) es pequeña (Pendiente form) y por tanto (Pendiente). Si sepermite (Pendiente) se convierta en (Pendiente) la segunda derivada de la última expresión es:
(Pendiente)
Sustituyendo (Pendiente) por (Pendiente) se ve que la deflexión y(x) satisface la ecuacióndiferencial de cuarto orden (Pendiente).



Las condiciones de fronteras asociado a esta (Ecuación anterior) depende de como estén apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo estaempotrada o fija en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón son ejemplos comunes de una viga en voladizo. Pero incluso árboles, asta de banderas,...