Ingenieria

Vibraciones
Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM

Vibraciones moleculares/Jesús Hernández T– p. 1/3

Oscilador armónico
Movimiento oscilatorio: Una partícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio

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Oscilador armónico
Movimiento oscilatorio: Unapartícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio Un cuerpo elástico se deforma cuando se le aplica una fuerza
¯ Faplicada ℓ x
deformación longitud de equilibrio

Vibraciones moleculares/Jesús Hernández T– p. 2/3

Oscilador armónico
Movimiento oscilatorio: Una partícula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se muevealrededor de una posición de equilibrio Un cuerpo elástico se deforma cuando se le aplica una fuerza
¯ Faplicada ℓ x
deformación longitud de equilibrio

Fuerza de restitución: La fuerza con que el material se opone a la deformación

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Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada:
¯ ¯ ¯ F ≡ Frestitucion = −Faplicada

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Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada:
¯ ¯ ¯ F ≡ Frestitucion = −Faplicada

Ley de Hooke: La magnitud de la fuerza de restitución es proporcional a la deformación

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Relación entre las fuerzas de restitución y aplicada:
¯ ¯ ¯ F ≡ Frestitucion = −Faplicada

Ley de Hooke: La magnitudde la fuerza de restitución es proporcional a la deformación Matemáticamente: donde:
F = −kx , k>0

k es la constante de rigidez del material x < 0 compresión F > 0 x > 0 extensión F < 0

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Intervalo de validez de la ley de Hooke:
¯ F ≡ |F |

x

deformaciones pequeñas
(depende la naturaleza del material, la temperatura, . . . .)Vibraciones moleculares/Jesús Hernández T– p. 4/3

Movimiento armónico simple

ℓ

longitud de equilibrio
x

111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000
k m O

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Movimiento armónico simple A partir de la segunda ley de Newton
F =m O x d2 x dt2

ℓ

longitud de equilibrio

111111111111111 000000000000000111111111111111 000000000000000
k m

y de la ley de Hooke:
F = −kx

se obtiene
m d2 x dt2 = −kx

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Por lo tanto:
m

d2 x dt2

+ kx = 0

(1)

d2 x dt2

+ ω2x = 0

donde
ω =
2

k m

ω : Frecuencia circular

La solución de (1) (o sus formas equivalentes anteriores) describe el movimiento armónico simple

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Definiciones:
Periodo:

τ =
Frecuencia:

2π ω

ν=

1 τ

=

ω 2π

=

1 2π

k m

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Las soluciones de (1) son de la forma
(2)

x(t) = A sen(ωt + φ)

A: Amplitud φ: ángulo de fase

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Las soluciones de (1) son de la forma
(2)

x(t) = Asen(ωt + φ)

A: Amplitud φ: ángulo de fase

{A, φ} son las constantes de integración de la solución general de (1)

Vibraciones moleculares/Jesús Hernández T– p. 8/3

Tarea 1. Verifica que (2) es solución de (1) 2. a) Demuestra que la solución general de (1) puede escribirse en la forma
(3)

x(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt

b) Utiliza sen(θ1 + θ2 ) = cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2 parademostrar que las ecuaciones (2) y (3) son equivalentes.

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Resumen: Cinemática del oscilador armónico

posición: x(t) = A sen(ωt + φ) velocidad: v(t) = Aω cos(ωt + φ) aceleración: a(t) = −Aω 2 sen(ωt + φ)

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x(t) = A sen(ωt+φ) A φ −A v(t) = Aω cos (ωt+φ) t1
2

τ t1 t2 t3 t4 t5 t

t2...