Ingenieria

Álgebra lineal

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El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas comoanálisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

|Contenido|
|[ocultar] |
|1 Conceptos básicos |
|2 Contexto general|
|3 Espacios vectoriales de uso común |
|3.1 Vectores en R^n |
|3.2 Matrices mxn |
|3.3 Espacio vectorial de polinomios en una misma variable|
|4 Generalización y temas relacionados |
|5 Véase también |
|6 Enlaces externos |

[pic]Conceptosbásicos [editar]

[pic]
[pic]
Representación gráfica de la suma de dos vectores en R2
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial [pic](conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un vector de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones.
Los objetos básicos deestudio son las n-tuplas ordenadas de números reales [pic]que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial [pic].
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio [pic]y (6,-1,0,2,4) es un elemento de [pic]. En particular, [pic]corresponde a un plano cartesiano y [pic]es el espacio euclidiano provisto de un sistema decoordenadas.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
Para sumar dos vectores en [pic], se suman las coordenadas en posiciones corre por la regla:
[pic]
La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con unaposible inversión de su sentido (si el signo es negativo).
Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v y todo escalar r:
[pic]
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usandocorresponden a matrices de números reales.
Específicamente, las transformaciones lineales entre [pic]y [pic]son las matrices de tamaño [pic].
Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos...