Ingenieria

Ecuación del plano |
Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vectoresu y v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano, llamadosvectores directores del mismo.

Sea un plano π que tiene como vectores directores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.* Que expresada en coordenadas: | (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3) | ECUACIÓN
VECTORIAL |
* A partir de aquí podemos escribir: | x=x0+t·u1+s·v1
y=y0+t·u2+s·v2
z=z0+t·u3+s·v3| ECUACIONES
PARAMÉTRICAS |
* Los vectores PP0, u y vson dependientes:
    x-x0=t·u1+s·v1
    y-y0=t·u2+s·v2
    z-z0=t·u3+s·v3 | desarrollando: Ax+By+Cz=D | ECUACIÓN
GENERAL |
*Si n=(A,B,C) es un vector normal al plano yP0(x0,y0,z0) un punto del mismo | A·(x-x0)+B·(y-y0)+C·(z-z0)=0 | ECUACIÓN
NORMAL |
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De la ecuación vectorial a la general

Hallar la ecuación deun plano que tiene como vectores directores u(2,0,0), v(0,2,0) y pasa por el punto P0(1,1,2). * Ecuación VECTORIAL:           
(x,y,z)=(1,1,2)+t(2,0,0)+s(0,2,0) * Ecuaciones PARAMÉTRICAS:  x=1+2t, y=1+2s, z=2 * Ecuación GENERAL:
Desarrollando el determinante:

 resulta 4z-8=0 ó z=2   | |
Calcula
   •La ecuación del plano de vectores directores
    u(2,1,-1) y v(-1,2,0) y que pasapor el punto 
    P(1,1,1).
   •La ecuación del plano que pasa por los puntos 
    P(1,3,-1), Q(-2,4,0) y R(0,0,1). | Puedes cambiar la perspectiva de la escena arrastrando suavemente la figura conel ratón.
Da valores a t, pulsando las flechas y calcula puntos del plano.
Cambia los valores de los vectores y del punto para calcular la ecuación de distintos planos. |

Ecuación normal delplano
Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
P0(1,1,2) y tiene como vector...