Ingenieria

Semana 08 [1/15]

Axioma del Supremo

April 18, 2007

Axioma del Supremo

Acotamiento de conjuntos

Semana 08 [2/15]

Cota Superior e Inferior
Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos.

AcotadoSuperiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del conjunto A, es decir (∃M ∈ R) (∀x ∈ A) tal que: x ≤ M. A este número M, se le llamará cota superior de A.

Observación
Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A.

Acotado Inferiormente
Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que es menor quetodos los elementos del conjunto A, es decir (∃m ∈ R) (∀x ∈ A) tal que: m ≤ x. A este número m se le llamará cota inferior de A.

Observación
Cualquier otro real menor que m, también será una cota inferior de A.

Observación
Un conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
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Semana 08 [3/15]

Cota Superior e Inferior
Ejemplos1

A = (−∞, 5). Este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es [5, ∞). No hay cotas superiores m < 5, ya que siempre existe ε > 0 tal que m + ∈ A y m < m + ε. El intervalo no es acotado inferiormente pues dado un real m < 5, una cota inferior para m sería m − 1, pero m − 1 ∈ A. A = [−1, 3] . Este intervalo es acotado superior einferiormente. El conjunto de las cotas superiores es el intervalo [3, ∞). Y el de las cotas inferiores es el intervalo (−∞, −1] .

1

Observación
Una forma de demostrar que un real c es una cota superior para un conjunto A, es probar que ningún real x > c pertenece a A. Ejemplo A = x ∈ R : x2 ≤ 2
3 Veamos si c = 3 es cota superior de A. Si x > 2 , entonces x 2 > 2 decir que ningún real mayor que 3puede estar en A. 2 3 2 2

=

9 4

> 2. Por lo tanto x ∈ A. Esto quiere /

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Máximo y Mínimo
Máximo
Diremos que un conjunto A posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto.

Mínimo
Diremos que un conjunto A posee mínimo, si posee una cota inferior que pertenece al conjunto.

Observación
Estasdos definiciones nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que el mínimo de un conjunto es el menor elemento del conjunto. Si el máximo existe, este es único. Lo mismo ocurre con el mínimo. Ejemplo
1

2

A = (−∞, 5) . No posee máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores es [5, ∞) y (−∞, 5] ∩ [5, ∞) = ∅. A = [−1, 3] . Posee como mínimo a −1 y comomáximo a 3.

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Supremo e Infimo
Supremo
Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones: 1 s es una cota superior de A. 2 Cualquier otra cota superior de A es mayor que s. Notación El supremo de A, se denota por sup A.

Ínfimo
Diremos que un conjunto A posee ínfimo, siexiste un real u que satisface las dos siguientes condiciones: 1 u es una cota inferior de A. 2 Cualquier otra cota inferior de A es menor que u. Notación El ínfimo de A, se denota por inf A. Ejemplo
1

A = (−∞, 5) . Tiene como supremo el valor 5, ya que 5 es cota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de A será mayor que 5. No tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente. A = [−1,3] .Está acotado superior e inferiormente y tiene a −1 como ínfimo y a 3 como supremo (−1 es mínimo y 3 es máximo ).

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Semana 08 [6/15]

Características de intervalos
Resumimos ahora las características anteriores en el caso de intervalos, dados a, b ∈ R con a < b: min max inf sup [a, b] a b a b (a, b) a b [a, b) a a b (a, b] b a b...