Ingenieria

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
“UNEFA”

Profesor: Integrantes:
Richard Marcano
Neysbel Alejos
Ing.Petroquimica III Semestre
I-003-D

24-01-2012

Introducción

La siguiente investigación serealizara a base de contenido de matemática III cuyos puntos son ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneo su forma general y su método de resolución.

también indagaremos sobre lo que es sistema de ecuaciones lineales de primer orden homogéneo sus valores propios, reales, y distintos; valores propios repetidos y valores propios completos esto nos dará un conocimiento que es desuma importancia y que debemos aplicar en la materia.

1)Ecuación diferencial de segundo orden no homogéneo:
Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por la expresión (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n] , debemos sumar una solución particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a2E2 + a1E + a0) y(n) = 0.
 
Para hallar la solución particular necesaria,empleamos el método de los coeficientes indeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por aplicación repetida del operador E.
 
Como en el caso de las ecuaciones diferenciales, si cualquier término de la expresión elegida inicialmente para Yp   es repetición de algún término de la solución complementaria (solución de la ecuación en diferencias homogénea), éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación.
 
El proceso a seguir es análogo al empleado para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior.
 

Forma General:
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación diferencial quepuede escribirse en la forma

Y”+ P(x) y’+ Q(x)y = R(x);
donde P, Q y R son funciones continuas de x en un cierto intervalo. Se dice que la ecuación es no homogénea si
R(x) = ≠0 para todo x.
Método de solución

Consideramos ahora el problema de encontrar el método de solucion de una ecuación lineal no homogénea de orden 2
y” + a1(x)yn−1 + a2(x)y’+ an(x)y = f(x)
y llamaremos ecuaciónhomogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de
sustituir f(x) por cero; esto es,
y” + a1(x)yn-1 + a2(x)y’ + an(x)y = 0.
Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de su ecuación homogénea.
Supongamos que las funciones a1(x), a2(x), . . . ,an(x), f(x) son continuas en un intervalo
abierto I. Si zp(x) es una soluciónparticular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución general de la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se pueden expresar en la forma
y(x) = yg(x) + zp(x)
y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.

Ejemplos
1) Hállese una solución completa de la ecuación en diferencias:
(E2 - 5E + 6) = n+2n.Solución.
En este caso la ecuación característica es   y a partir  de sus raíces ,  se halla la solución complementaria que es  yc = c12n  + c2 3n
Para hallar una solución particular, se ensayaría normalmente con la expresión   
yp = An + B + C2n   según la tabla anterior.
Como ocurre que el término  C2n  es repetición de un término de la solución complementaria, debemos multiplicar C2n   por nantes de incorporarlo a la expresión que hemos elegido para  yp.
Por lo tanto,  yp  tiene la forma siguiente:  yp = An + B + Cn2n   . Enseguida sustituimos la anterior expresión en la ecuación en diferencias obteniéndose la siguiente expresión:
  2An + (-3A + 2B) - 2C2n   = n + 2n

 
2) Sistema de Ecuaciones Lineales en primer orden homogéneo
Sea un sistema de n ecuaciones...