Ingenieria

Práctica 3 Conservación de la energía mecánica Rueda de Maxwell
3.1 Objetivo
Mediante el uso de una rueda de Maxwell que se mueve bajo la acción del campo gravitatorio, se estudiará la conservación de la energía mecánica y cómo la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética de traslación y de rotación.

3.2

Fundamento teórico

La rueda de Maxwell (ver la figura 3.1)es, básicamente, un disco en el que se arrollan dos cuerdas en su eje sólido, a cada uno de los lados. Las cuerdas se sujetan en una barra fija, de manera que, al dejar libre el disco desde su posición inicial de máxima altura, las cuerdas se van desenrollando y el disco va girando mientras cae. Cuando el disco se desplaza la máxima longitud de las cuerdas, sufre una percusión, convirtiendo sumovimiento descendente en un movimiento ascendente (invierte el sentido), hasta alcanzar una cierta altura (menor que la inicial, por las pérdidas energéticas), repitiéndose el movimiento descrito hasta que se disipa toda la energía. Consideremos, en primer lugar, el movimiento de un disco homogéneo que gira en sentido antihorario con respecto a su eje, que tomaremos como eje z. El centro de masasdel disco será el origen del sistema de referencia en este ejemplo. Por tanto, el disco se puede representar geométricamente como un círculo en el plano xy que gira respecto al eje z. Supongamos, por ahora, que el centro de masas está fijo. Debido a que tratamos con un sólido rígido (indeformable), el movimiento de cada punto del disco está relacionado con el del resto de los puntos del disco en elsentido de que todos recorren los mismos ángulos en el mismo tiempo, es decir, si la velocidad angular de rotación de un punto del disco en un instante dado es ω(t), entonces todos los puntos del disco giran con la misma velocidad angular. Se define el vector velocidad angular como → − = ω− → ω k, (3.1) − → pues el disco gira alrededor del eje z, al cual se asigna un vector unitario k .Consideremos − → − → → un punto i del disco con vector de posición − = x i + y j con respecto al centro de r
i i i

masas. La velocidad de este punto es, según las relaciones del movimiento circular,

(3.2)

De manera que su energía cinética es: La energía cinética del disco es la suma de las energías cinéticas de todos sus puntos, así que se llega a

(3.4) Debido a que sólo consideramosmovimiento de rotación del disco respecto a un eje que pasa por su centro de masas, la energía cinética obtenida se llama energía cinética de rotación. La cantidad Iz = Σmi r 2 es una característica del cuerpo rígido llamada momento i de inercia del cuerpo con respecto al eje z, que es nuestro eje de rotación. Llegamos, por tanto, a que le energía cinética de rotación de un cuerpo sólido con respecto a uneje que pasa por su centro de masas sólo depende de la velocidad angular de rotación ω y del momento de inercia respecto a ese eje Iz, (3.5)

Volvamos al caso de la rueda de Maxwell. Además de girar respecto a su eje, la rueda cae, es decir, su centro de masas no está fijo, sino que se mueve con velocidad v. Por tanto, además de la energía cinética de rotación, la rueda de Maxwell tiene unaenergía cinética de traslación Et dada por (3.6) donde m es la masa total del disco. También se ha de tener en cuenta la energía potencial de la gravedad a la que está sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en la posición inicial, ésta energía potencial es
(3.7)

siendo s i el desplazamiento vertical de cada partícula desde la posición inicial. Podemos escribir este desplazamiento comosi = s + si0 , donde s es el desplazamiento vertical del centro de masas, relacionado con la velocidad del centro de masas v por v= ds , dt (3.8)

y s’i es el desplazamiento vertical del punto i respecto al centro de masas. Por la homogeneidad del disco, es claro que el término en s0i no afecta a la energía potencial de la rueda (se puede imaginar que, mientras un punto del disco se desplaza...