Ingenieria
Páginas: 3 (655 palabras)
Publicado: 6 de diciembre de 2012
INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular esmuchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente encoordenadas polares mediante la siguiente transformación:
[pic]
Por ejemplo:
[pic]
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinantejacobiano de la transformación es:
[pic]
Consideremos la región A determinada por las semirrectas θ=β, θ =α y las curvas r=f1(θ), r=f2(θ), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida porcompleto en el sector
R: " r " a "0 "
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos
[pic]
[pic]
Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones:
a) exteriores de A;
b) interiores a A, y
c) atravesadas por el contorno de A.
Prescindimos que todas las delprimer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en ciertoorden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondientesubregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma
[pic]
[pic]
[pic]
Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; porconsiguiente
[pic]
Que después de efectuar operaciones se reduce a 27.
Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0...
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular esmuchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente encoordenadas polares mediante la siguiente transformación:
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Por ejemplo:
[pic]
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinantejacobiano de la transformación es:
[pic]
Consideremos la región A determinada por las semirrectas θ=β, θ =α y las curvas r=f1(θ), r=f2(θ), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida porcompleto en el sector
R: " r " a "0 "
Sean m y n dos enteros positivos y hagamos
[pic]
[pic]
Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones:
a) exteriores de A;
b) interiores a A, y
c) atravesadas por el contorno de A.
Prescindimos que todas las delprimer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en ciertoorden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondientesubregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma
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Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; porconsiguiente
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Que después de efectuar operaciones se reduce a 27.
Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0...
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