Ingenieria

3.1. MODELADO CINEMÁTICO DE ROBOT DIFERENCIALES

CAPÍTULO 3. MODELADO CINEMÁTICO Y LOCALIZACIÓN ODOMÉTRICA DEL ROBOT DIFERENCIAL Si el período de observación tiende a ser infinitesimalmente pequeño(∆t → 0), entonces las integrales anteriores pueden ser remplazadas por los desplazamientos diferenciales. Esto es, 
∆t

∆t→0

l´  ım

∆t→0

l´  ım


∆t

v (t) cos (θ (t)) dt ≈ ∆x v(t) sin (θ (t)) dt ≈ ∆y
∆t→0





(3.3)

Así, la ecuación (3.2) se puede rescribir como

l´  ım



∆t

ω (t) dt ≈ ∆θ



x = x0 + ∆x Figura 3.2: Variables cinemáticas globales de una móvil diferencial las ecuaciones cinemáticas del punto medio del eje entre las ruedas activas, referidas a un sistema de referencia global son (ver figura 3.2):
.

y = y0 + ∆y θ = θ0 + ∆θ(3.4)

Por lo que si se mantiene una frecuencia de muestreo constante y elevada sobre la odometría de un móvil, se puede estimar la posición y orientación del mismo mediante las siguientes ecuaciones en diferencia: xk = xk−1 + ∆xk yk = yk−1 + ∆yk θk = θk−1 + ∆θk donde k representa los índices de tiempo discreto. Por otra parte, dado que se está considerando una alta frecuencia de muestreo,entonces también se puede considerar que la velocidad angular en cada una de las ruedas se mantiene constante durante el período de intermuestreo. Esto lleva a que el movimiento del robot pueda ser aproximado a través de pequeños desplazamientos de curvatura constante, según se muestra en la figura 3.3. En la figura (3.3), ∆Sk es la distancia recorrida por el centro del robot en el intervalo [k − 1,k], mientras que ∆θk es el cambio de orientación durante el mismo intervalo. Estas relaciones se pueden expresar según, ∆θk = ∆Sk,R − ∆Sk,L d ∆Sk,R + ∆Sk,L 2 56 (3.6) (3.7) (3.5)

x = v (t) cos (θ (t)) y = v (t) sin (θ (t)) θ = ω (t) donde x, y, y θ se refieren a la derivada respecto al tiempo de x, y, y θ respectivamente. Es decir, se refiere a la velocidad lineal en la dirección de x e y, y a lavelocidad angular del robot respectivamente. La posición y orientación del móvil se obtienen integrando las velocidades del móvil en un periodo de tiempo ∆t.
. . . . .

(3.1)

x = x0 +
∆t

v (t) cos (θ (t)) dt v (t) sin (θ (t)) dt (3.2)

y = y0 +
∆t

θ = θ0 +
∆t

ω (t) dt

∆Sk =

55

3.1. MODELADO CINEMÁTICO DE ROBOT DIFERENCIALES

CAPÍTULO 3. MODELADO CINEMÁTICO YLOCALIZACIÓN ODOMÉTRICA DEL ROBOT DIFERENCIAL

Figura 3.3: Desplazamiento relativo entre instantes de muestreo(derecha) y relaciones geométricas definidas por el movimiento(izquierda). Figura 3.5: Relaciones de transformación trayecto circular a cartesianas ∆N es la cantidad de pulsos observados durante el período ∆t. ∆S es el desplazamiento lineal de la rueda durante el período ∆t(mm). Considerando quelos pulsos suministrados por cada sensor odométrico representan la única entrada del sistema, el vector de excitación o de comandos se puede escribir como uk = uk,R uk,L = ∆Nk,R ∆Nk,L (3.9)

Figura 3.4: Esquema del sistema de medición de desplazamiento lineal mediante codificadores rotativos donde ∆Sk,R y ∆Sk,L son los arcos recorridos en el intervalo [k − 1, k] por las ruedas derecha eizquierda respectivamente. Estos arcos pueden ser calculados a partir de la cadena cinemática ruedas-sensor según como se muestra en la figura 3.4. En el caso de que el sensor sea un codificador rotativo incremental, el arco recorrido por la rueda se calcula según, ∆S = Donde, 2πr ∆N = C.∆N n (3.8)

Ahora bien, el diferencial de giro ∆θ que sufre el robot en el intervalo [k − 1, k] es exactamente igual alcalculado en la ecuación 3.6, mientras que los desplazamientos cartesianos ∆x y ∆y deben calcularse a partir de las relaciones mostradas en la figura 3.5, de donde resulta ∆xk = ∆Sk cos (θk−1 + ∆θk /2) ∆y = ∆Sk sin (θk−1 + ∆θk /2) (3.10) (3.11)

r es el radio de la rueda. n resolución del codificador o número de pulsos por vuelta. C es la constante de conversión de pulsos de codificador a...