Ingenierias

Introducción

En le siguiente trabajo se muestra una breve explicación de los siguientes temas
Método del anulador
Variación de parámetros
Ecuación cauchy-euler
El cual nos ilustra y nos desarrollara aun más nuestros conocimientos.



Unas de las grandes dificultades es no tener un amplio conocimiento del vocabulario matemático. Y también el no tener las herramientas necesariaspara poder realizar un trabajo de magnitud.



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Método del anulador

Método solución de ecuaciones de diferenciales lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.
Se explica como anularlas funciones polinomiales, exponenciales y combinación se seno y coseno con funciones exponenciales para luego encontrar la solución particular a una ecuación diferencial no homogénea.
Cuando multiplicamos una ecuación diferencial por el anulador de la función de salida o g(x) la convertimos en una ecuación diferencial homogénea que contiene la solución general de la ecuación original.Solucionando esta última ecuación homogénea encontramos la suma de la solución particular y homogénea de la ecuación que desde el principio deseamos resolver. Solo debemos restarle la Yh (solución a la homogénea de la ecuación original) a esta solución general para tener la particular que deseamos.
La solución particular que se encuentra debe sustituirse en la ecuación original para poder encontrar loscoeficientes indeterminados.
Operador anulador
Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que

Se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial porque la primera y segunda derivadas de x son 1y 0, respectivamente. En forma similar, , etcétera.
El operador diferencial anula cada una de las siguientes funciones:


Como consecuencia inmediata de la ecuación y del hecho de que la diferenciaciones puede llevar a cabo término a término, un polinomio
Se puede anular definiendo un operador que anule la potencia máxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal Lde orden n son aquellas que se pueden obtener de la solución general de la ecuación diferencial homogénea .



SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:Dondev1 y v2 se obtienen del sistema:



Dondey1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:



Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.


PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Variación de los parámetros. La posición y laaceleración, en función del tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial

(Unidadesmks)

Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s.
SOLUCIÓN
Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la ecuacióntenemos:

Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:

La ecuación característica es:

Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneo halladas, será:

Hallemos ahora v1 y v2:

Si ahora sumamos las dos ecuaciones de...