Ingeniero Agronomo

NOTAS DE ANALISIS EN INGENIERIA
Jos´ Rafael Pacheco Vega e Facultad de Ingenier´ Mec´nica ıa a Universidad de Guanajuato Calle Tamp´ #912 ıco Salamanca Guanajuato, C.P. 37480 M´xico e Copyright c 2001 by Jos´ Rafael Pacheco Vega. All rights e reserved.

Prefacio
Estas son notas para Ma1.6: An´lisis en Ingenier´ I, un curso para estudiantes a ıa de postgrado. Se supone que los estudiantes quetoman este curso estan familiarizados con algebra lineal y vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El uso de la computadora es escencial para propositos de computaci´n o y para desplegar resultados visuales. En este momento, estas notas son bosquejos; se recomienda al estudiante hacer uso de la literatura presentada en la bliograf´ Los estudiantes deber´n ıa. a de tratar deresolver los problemas al final de cada cap´ ıtulo a fin de reforzar su aprendizaje. Esta clase trata de presentar los conceptos fundamentales en las areas de calculo tensorial, geometria diferencial y mecanica del medio continuo. El material que se presenta es adecuado para dos semestres en matematicas aplicadas y es suficientemente flexible para ser usado en los cursos graduados de ingenieria,matematicas aplicadas y fisica. Se pretende que el estudiante (i) desarrolle un entendimiento fisico de los conceptos matematicos asociados con el calculo tensorial (ii) desarrollar las ecuaciones basicas de calculo tensorial, geometria diferencial y mecanica del medio continuo que surgen de las aplicaciones en ingenieria. El material esta dividido en dos partes. La primera trata de una introduccion alcalculo tensorial y geometria diferencial que cubre cosas tales como notacion indicial, algebra tensorial, diferenciacion covariante, tensores duales, formas bilineales y multilineales, tensores especiales, el tensor de Riemann Christoffel, curvas en el espacio, superficies en el espacio, curvatura y las formas cuadraticas fundamentales. La segunda parte hace hincapie en el uso y aplicacion del algebratensorial a una variedad de areas de la fisica e ingenieria. Estare agradecido si recibo comentarios sobre estas notas, asi como de cualquier error que se encuentre en el manuscrito. Salamanca, Guanajuaro J. R. P. V. Enero, 2001.

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Contenido
Prefacio Lista de Tablas Lista de Figuras 1 Vectores y tensores 1.1 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1Transformaci´n dir´cta e inversa de los vectores base . . . o e 1.1.2 Producto punto o interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Producto cruz o externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 El producto triple escalar de tres vectores . . . . . . . . . 1.2 Bases reciprocas y t´picos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1 Bases reciprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.2.2 La convenci´n de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.3 Componentes covariantes y contravariantes de un vector . 1.2.4 Componentes f´ ısicas de un vector . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Relaci´n entre componentes covariantes y contravariantes o 1.2.6 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Integrales de l´ ınea . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1.2.8 Integrales de superf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıcie 1.3 Teoremas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Coordenadas Cartesianas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Identidades...