ingeniero civil industrial

Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Adm.
ıa,
Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica

o
GUIA N− 5 (IME050)
CALCULO EN UNA VARIABLE

1. Mediante la definici´n, calcular las derivadas de las funciones siguientes, en los puntos
o
que se indican:
1
a) f (x) = 3x2 + 2x + 1 en x = .
2
√
b) f (x) = 2x − 1 en x = 5.

c) f (x) = tg x en x =
d ) f (x) =

√π
.
3

cos x en x = 0.

2. Demostrar que f (x) = | x | no es derivable en x = 0.
3. Dar un ejemplo de una funci´n:
o
(i) Continua y derivable en x = 5.
(ii) Continua pero no derivable en x = 5
4. Contestar las interrogantes:
(i) ¿Puede ser una funci´n discontinua y derivable en x = 5?
o
(ii) ¿Puede ser una funci´n discontinua y no derivable en x = 5?
o
5. Sabiendo que g(x) = f(x + a) se pide g (x)
6. Sabiendo que g(x) = f (ax) se pide g (x)
7. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la par´bola de ecuaci´n x2 = 3y
a
o
en x = 3.
2
2
8. ¿En qu´ punto de la curva de ecuaci´n y = x2 − x la tangente a ella es paralela a la
e
o
3
3
recta de ecuaci´n y = 2x + 1?
o
9. Dada la funci´n
o

√
5
2x x3
f (x) = 2
,
3x − 1024
encontrar laecuaci´n de la recta tangente a su grafico en el punto (−32, f (−32)).
o

10. Encontrar la ecuaci´n de la recta tangente al grafico de la funci´n
o
o
f (x) =

x2 + 1
2

(x3 + 3x + 15) 3

en el punto (−2, f (−2))
1

,

11. Sean 0 < b ≤ a y 0 < x < π; utilizando derivaci´n establecer que
o
a cos x + b
a + b cos x

Arccos

= 2 Arctg

a−b x
tg
+C
a+b 2

donde C es constante.Cuanto vale dicha constante?
12. Derivar las funciones:
a)

f)
2

x −1
y= 2
x +1

y = log(x +

y = Arcsen

a + b cos x
b + a cos x

y = Arctg

(x2 + 2)2 (x2 − 1)2
y=
x(3x4 + 2)

x
x
Arctg
a
a

h)
y=

1−

√

1 + x2 )

g)

b)

c)

√

1+

x2
i)

d)
y=

1 + senx
1 − sen x

s=

sen t − t cos t
cos t + t sen t

j)

e)
a − bxn
y=
a + bxnm

4

2

y = 3x 3 + 2x 3 −

1
x

2
3

−

3
4

x3

13. Si:
f (x) =

sen x
− log
2 cos2 x

tg

π x
−
y g(x) = −3 cos x
4
2

demostrar que:
f (x) +

1
2 cos xf (x)
=
3x
cos
g (x)

14. Encontrar la ecuaci´n de la recta tangente a la hip´rbola de ecuaci´n x2 − y 2 = 7 en el
o
e
o
punto P0 (4, −3).
15. ¿En qu´ puntos la curva de ecuaci´n y = 2x3 +13x2 + 5x + 9, tiene rectas tangentes que
e
o
pasan por el origen?
16. ¿Para qu´ valores de a, b y c los gr´ficos de las funciones:
e
a
f (x) = x2 + ax + b ,
tienen una recta tangente com´n en P0 (2, 2)?
u
17. Calcular y =

dy
para:
dx
2

g(x) = x3 + cx ,

a)
(x2 + y 2 )2 = 2c2 (x2 − y 2 )
b)
8x2 − 12xy + 17y 2 = 100
c)
x = h + a cos t
y = k + a sen t

C:
d)
E:

x = acos t
y = b sen t

H:

x = a sec t
y = b tg t

e)

f)


 x =


P:





t2
2p

y =

t

g)


 x =



(a + b) cos t − a cos

a+b
t
a



 y = (a + b) sen t − a sen a + b t

a
18. Una part´
ıcula se mueve de modo que en el tiempo t se encuentra sobre la curva:
C:

x = 2 cos t − cos 2t
y = 2 sen t − sen 2t

hallar su vector velocidad yla respectiva rapidez cuando t =

π
.
2

19. Demostrar que la recta tangente trazada en un punto P0 cualquiera de la hip´rbola de
e
−→

ecuaci´n xy = 1 determina en el eje OX un punto A tal que el tri´ngulo OAP0 es is´sceles.
o
a
o
20. Hallar el punto en que la recta tangente a la curva y = x3 en P0 (1, 1) vuelve a cortar a la
curva.
21. Hallar las ecuaciones de las recta tangentey normal a la elipse de ecuaci´n:
o
3x2 + 5y 2 = 32 ,
en un punto cuya abscisa es igual a su ordenada.
3

22. Hallar un punto de la curva xy − 5x2 − 4 = 0 donde la recta tangente tenga pendiente 1.
23. Demostrar que la ecuaci´n diferencial:
o
(1 − x2 )y − xy + 1 = 0 ,
√
Arccos x
log(x + x2 − 1)
√
se satisface tanto para y = √
como para y =
.
1 − x2
x2 − 1
24. Demostrar que...