ingeniero civil mecánico

132

Cap´ıtulo 11

Flujo Compresible
En ´este cap´ıtulo se considerar´an los efectos de la compresibilidad del fluido sobre las caracter´ısticas del flujo. Los efectos de la compresibilidad se ven reflejados por ejemplo en una
variaci´on brusca de las propiedades del fluido, como por ejemplo la densidad y la presi´on, aceleraci´on del flujo en ductos divergentes, etc.. Dado que los efectosde la compresibilidad de
los l´ıquidos son despreciables en comparaci´on a los efectos de la compresibilidad de los gases se
considerar´a s´olo el flujo de gases. Adem´as se supondr´a que los gases se comportan como gases
ideales.

11.1

Relaciones termodin´
amicas para un gas ideal

Dado que una variaci´on de la densidad esta asociada a una diferencia o variaci´on de la temperatura y/ola presi´on ser´a necesario utilizar en el an´alisis las distintas relaciones termodin´amicas
existentes para un gas ideal.
Ecuaci´
on de estado. La ecuaci´on de estado para un gas ideal es
pv = p

1
= RT
ρ

p = ρRT
donde p es la presi´
on, ρ la densidad, T la temperatura absoluta y R la constante del gas que se
obtiene de
R=

RG
M

donde RG es la constante universal de losgases y M el peso molecular del gas.
Energ´ıa interna. Para un gas perfecto la energ´ıa interna espec´ıfica u es una funci´on solo de
la temperatura, es decir, u = u(T ). Diferenciando u y suponiendo que la temperatura T y el
volumen espec´ıfico v como variables de estado para representar u se obtiene
du =

∂u
∂T

dT +
v

∂u
∂v

dv
T

11.1 Relaciones termodin´
amicas para un gasideal

133

de donde para un gas ideal
du
=
dT

∂u
∂T

.
v

El calor espec´ıfico a volumen constante Cv se define como

Cv =

∂u
∂T

v

gas
ideal
du
↓
=
.
dT

Integrando la ecuaci´on anterior entre dos puntos es posible determinar la variaci´on de la energ´ıa
interna u debida a una cambio de temperatura
u2 − u1 = Cv (T2 − T1 ) .
Para gases reales se cumple que Cves una funci´on de la temperatura, es decir, Cv = Cv (T ).
Entalp´ıa.

La entalp´ıa espec´ıfica h se define como

h = u + pv .
Para un gas ideal o perfecto se cumple que u = u(T ). Introduciendo la ecuaci´on de estado en la
ecuaci´on anterior se obtiene
h = u(T ) + RT = h(T ) ,
de donde es posible apreciar que la entalp´ıa de un gas ideal es solo funci´on de la temperatura,
es decir, h =h(T ). El calor espec´ıfico a presi´on constante Cp se define como

Cp =

∂h
∂T

p

gas
ideal
dh
↓
=
.
dT

Al igual que para la energ´ıa interna, la relaci´on anterior se puede utilizar para determinar el
cambio de entalp´ıa debido a un cambio de temperatura
h2 − h1 = Cp (T2 − T1 ) .
Para gases reales se cumple que Cp = Cp (T ).
Diferenciando la relaci´on para la entalp´ıa h =u + pv se obtiene
dh = du + R dT
dh
du
=
+R
dT
dT
⇒
Cp = Cv + R
C. Gherardelli

U. de Chile

134

11.1 Relaciones termodin´
amicas para un gas ideal

o
Cp − Cv = R .
Dado que R > 0 se desprende que Cp > Cv . Se define el coeficiente isoentr´opico k como la raz´
on
entre Cp y Cv
k=

Cp
,
Cv

de donde
Cp =

k
R,
k−1

Cv =

1
R.
k−1

Entrop´ıa.
cionesPara analizar la variaci´on de entrop´ıa existen b´asicamente las siguientes dos rela1
ρ

1. T ds = du + p d
2. T ds = dh −

1
ρ

,

dp.

De las relaciones anteriores se puede obtener que
ds = Cv

dT
R
1
+
d
T
1/ρ
ρ

ds = Cp

dT
dp
−R
.
T
p

y

Integrando las relaciones anteriores entre dos puntos es posible determinar el cambio de entrop´ıa
espec´ıfica ⇒
s2 −s1 = Cv ln

T2
ρ1
+ R ln
,
T1
ρ2

s2 − s1 = Cp ln

p2
T2
− R ln .
T1
p1

Si el flujo es adiab´atico y sin fricci´on se tiene que ds = 0 o s2 − s1 = 0. Este tipo de flujo se
denomina flujo isoentr´opico. De las relaciones anteriores se obtiene
Cv ln

T2
ρ1
T2
p2
+ R ln
= Cp ln
− R ln
= 0.
T1
ρ2
T1
p1

⇒
T2
T1

k
k−1

=

ρ2
ρ1

k

=

p2
p1

....