ingeniero civil

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
E HIPERESTÁTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R 2

4.F)
2 𝑇/𝑚

3𝑇
6 𝑇/𝑚

1 𝑇/𝑚
3 𝑇∙ 𝑚
𝐶

𝐵

𝐴
2𝑚

6𝑚

𝐷
1 𝑚

SOLUCIÓN.
Cálculo de las reacciones en los soportes.
Diagrama de cargas.
- Carga concentrada equivalente y punto de aplicación de la presión trapezoidal.
Componente

𝐴, 𝑇

𝑥̅ , 𝑚

𝑥̅ 𝐴, 𝑇 ∙ 𝑚①=rectángulo

6(1) = 6

1
(6) = 3
2

18

②= triángulo

6(1)
=3
2

1
(6) = 2
3

6

∑ 𝐴=9

∑ 𝑥̅ 𝐴 = 24

La fuerza resultante de la carga trapezoidal distribuida es
𝐴1 = ∑ 𝐴 = 9𝑇
y su línea de acción está localizada a una distancia de
∑ ̅ 𝐴 24𝑇. 𝑚 8
𝑥
𝑥̅1 =
=
= 𝑚 a la derecha de B
∑ 𝐴
9𝑇
3
- Carga concentrada equivalente y punto de aplicación de la carga uniformementerepartida.
La fuerza resultante es
𝐴2 = (6𝑇/𝑚)(2𝑚) = 12T
y el centroide a través del cual actúa es

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

𝑥̅1 = (1/2)(2𝑚) = 1𝑚 a la izquierda de B
El diagrama de cargas mostrado se completa identificando las reacciones en los
soportes proponiendo sus sentidos arbitrariamente.
𝐴2 = 12𝑇
2 𝑇/𝑚
3𝑇
6 𝑇/𝑚

𝐴1= 9𝑇
1 𝑇/𝑚
3 𝑇∙ 𝑚

𝐴 𝑅 𝐵𝑋
2𝑚

𝐶

𝐵
𝑅 𝐵𝑌

8
𝑥̅1 = 1𝑚 𝑥̅ 2 = 3 𝑚

𝑅 𝐶𝑌

6𝑚
10
3

𝐷
1𝑚

𝑚

Ecuaciones de equilibrio.
8
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −(3)(2) − (12)(1) + 9 ( ) − 6( 𝑅 𝐶𝑌 ) + 3 = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐶𝑌 = 1.5 𝑇
3
+ ∑ 𝑀𝐶 = 0 ⇒ 3 − 9 (

10
) + 6( 𝑅 𝐵𝑌 ) − (12)(1 + 6) − 3(8) = 0 ⇒∴ 𝑅 𝐵𝑌 = 22.5 𝑇
3
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑅 𝐵𝑋 = 0

Como comprobación, se cumple que
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −3 − 12 + 1.5 −9 + 22.5 = 0 ⇒ 0 = 0

𝑜𝑘 ✓

Funciones de fuerza cortante y de momento.
En la siguiente figura se especifica la coordenada 𝑥 a utilizar cuyo origen asociado
está en 𝐴; note 𝑥 es válida para 0 ≤ 𝑥 ≤ 9𝑚. Debido a los cambios en el tipo de la
carga distribuida a lo largo de la estructura, deben efectuarse tres cortes
perpendiculares al eje de la viga.

345

PROBLEMARIO DE ANÁLISIS DEESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
E HIPERESTÁTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R 2

Corte en el tramo ① ( 𝐴 − 𝐵). Se secciona la viga a una distancia 𝑥 antes del punto
𝐵, es decir, antes del punto de intensidad de 2𝑇/𝑚 de la presión trapezoidal. En
consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la sección cortada con su análisis es
el siguiente:
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑚
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

3𝑇
6 𝑇/𝑚

𝐴

𝑀1
𝑥𝑥
𝑀1 = −6( 𝑥 ) ( ) − 3𝑥 = −3𝑥 2 − 3𝑥
2

𝑉1

𝑉1 =

𝑑𝑀1
= −6𝑥 − 3
𝑑𝑥

Corte en el tramo ②( 𝐵 − 𝐶 ). Se secciona la viga a una distancia arbitraria justo
después de que comienza la carga trapezoidal distribuida hasta antes de que tal
presión termine; por tanto, la longitud de la viga va desde el punto 𝐴 hasta después
del punto 𝐵, pero sin llegar al punto 𝐶. El diagrama de cuerpolibre para éste
segmento de viga y su correspondiente análisis es el siguiente:
2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚

Previo a la aplicación de las ecuaciones de equilibrio, debe hallarse el área y su
centroide de la presión trapezoidal del corte.
Por trigonometría puede determinarse el valor en función de 𝑥 de la intensidad 𝑊1 .

1𝑇/𝑚
𝑦
=
6𝑚
8𝑚 − 𝑥
𝑦=

(1)(8 − 𝑥 ) 4 1
= − 𝑥
6
3 6

4 1
7 1
𝑊1 = 1 + 𝑦 =1 + ( − 𝑥) = − 𝑥
3 6
3 6

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

A continuación se hace el análisis de la carga trapezoidal distribuida del corte.

7 1
7
1
14 1
1
8
14
𝐴1 = ( 𝑥 − 2) ( − 𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2 −
+ 𝑥 = − 𝑥2 + 𝑥 −
3 6
3
6
3 3
6
3
3

𝐴2 =

7 1
( 𝑥 − 2) (2 − ( − 𝑥))
3 6
2

1 1
( 𝑥 − 2) (− + 𝑥) − 1 𝑥 + 1 𝑥 2 + 2 −1 𝑥
3 6
6
3 3
=
= 3
2
2

𝐴2 =
𝑥̅1 =
𝑥̅1 𝐴1 = (−

1 2 1
1
𝑥 − 𝑥+
12
3
3

𝑥−2 1
𝑥−2 1
2
= 𝑥 − 1; 𝑥̅2 =
= 𝑥−
2
2
3
3
3

1 2 8
14 1
1 3 4 2 7
1
8
14
𝑥 + 𝑥 − ) ( 𝑥 − 1) = −
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 +
6
3
3 2
12
3
3
6
3
3
𝑥̅1 𝐴1 = −

1 3 3 2
14
𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 +
12
2
3

1 2 1
1 1
2
𝑥3
𝑥2
𝑥
𝑥 2 2𝑥 2
𝑥̅2 𝐴2 = (
x − x + )( 𝑥 − ) =
− + −
+
−
12...