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CLASE 6

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquemaparticular atribuido a Gauss.
Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.
El esquema de Gauss empiezareduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular equivalente como:
(6)
en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:
1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:
(7)
2. La ec. (7) semultiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, demanera que el conjunto adopta la forma:
(8)
3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).
4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) seconvierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.
Esta reducción nos conduce a:
(9)A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizandodiferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ec. (6).
5. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjuntotriangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente.
Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:X1 + 4 X2 + X3 = 7
X1 + 6 X2 - X3 = 13 (10)
2 X1 - X2 + 2 X3 = 5
Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6 (11)
9 X2 + (0) X3 = -9
A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular deecuaciones:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6 (12)
- 9 X3 = 18
Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecs. (12) se obtienen los siguientes valores:
X3 = -2
X2 = 1
X1 = 5




MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10...