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VECTORES: TRIÁNGULOS
Demostrar que en una semicircunferencia cualquier triángulo inscrito con el diámetro como
uno de sus lados es un triángulo rectángulo.
Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T.96, 99, 01, curso cero de física
Como el diámetro ha de ser forzosamente el lado más
largo del triángulo, lo que nos piden demostrar es que los
lados AP y PB son perpendiculares independientementedel punto P escogido para trazar el triángulo.
Los vectores asociados a dichos lados serán:
AP = OP − OA = ( R cosθ, R senθ ) − (−R, 0) = R (1 + cosθ , senθ )
PB = OB − OP = ( R, 0) − ( R cosθ , Rsenθ ) = R (1− cos θ, − senθ )

Donde R es el radio de la circunferencia.
Si hacemos el producto escalar de estos dos vectores:

AP ⋅ PB = R 2 (1− cos2 θ − sen2θ ) = 0
Lo cual demuestra quedichos vectores son perpendiculares sea cual sea el punto P
escogido para trazar el triángulo, y que por lo tanto cualquier triángulo de este tipo será
rectángulo.

Sea un triángulo cuyos ladostengan longitud A, B y C respectivamente. Utilizando vectores
demuestre el teorema del coseno: C 2 = A 2 + B 2 − 2AB cos γ , donde γ es el ángulo formado
por los lados de longitud A y B.
Solución:I.T.I. 93, 97, 98, I.T.T. 97, 99, curso cero de física
Utilizando el hecho de que el producto escalar de un vector
por si mismo es el cuadrado de su módulo:
 2
   
C 2 = A − B = A − B ⋅ A − B =A 2 + B 2 − 2AB cosγ

(

)(

)


A


C

γ


B

Sea un triángulo cuyos lados tengan longitud A, B y C respectivamente. ¿Cuál sería su área?
Demostrar el teorema del seno: paracualquiera de los tres ángulos del triángulo el cociente
entre el seno del ángulo y la longitud del lado opuesto tiene el mismo valor.
Solución: I.T.I. 93, 97, 98, I.T.T. 97, 99, curso cero de físicaSabemos que el producto vectorial de dos vectores es
un vector cuyo módulo es igual al área del
paralelogramo formado con ayuda de esos dos
vectores. El área del triángulo será justamente la...